Найди вероятность того, что среди пяти деталей, приобретенных из партии в 15 деталей, где 3 бракованные: а) нет ни одной бракованной.

Задача 186. Всего деталей 15, из них 3 бракованные. Купили 5 деталей. Нужно найти вероятности: a) что среди них нет бракованных; б) есть хотя бы одна бракованная; в) ровно 2 бракованные детали; г) ровно 3 бракованные детали. Решение: a) Вероятность того, что среди 5 деталей нет бракованных: Всего способов выбрать 5 деталей из 15: $C_{15}^5 = \frac{15!}{5!(15-5)!} = \frac{15!}{5!10!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 3003$ Способов выбрать 5 небракованных деталей из 12 (15-3): $C_{12}^5 = \frac{12!}{5!(12-5)!} = \frac{12!}{5!7!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 792$ Вероятность отсутствия брака: $P(a) = \frac{C_{12}^5}{C_{15}^5} = \frac{792}{3003} = \frac{264}{1001} \approx 0.2637$ б) Вероятность того, что есть хотя бы одна бракованная деталь, проще найти через противоположное событие (нет ни одной бракованной): $P(б) = 1 - P(a) = 1 - \frac{264}{1001} = \frac{737}{1001} \approx 0.7363$ в) Вероятность того, что ровно 2 бракованные детали: Выбираем 2 бракованные детали из 3: $C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = 3$ Выбираем 3 небракованные детали из 12: $C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3!9!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 220$ Всего способов выбрать 2 бракованные и 3 небракованные: $C_3^2 \cdot C_{12}^3 = 3 \cdot 220 = 660$ Вероятность: $P(в) = \frac{C_3^2 \cdot C_{12}^3}{C_{15}^5} = \frac{660}{3003} = \frac{20}{91} \approx 0.2198$ г) Вероятность того, что ровно 3 бракованные детали: Выбираем 3 бракованные детали из 3: $C_3^3 = 1$ Выбираем 2 небракованные детали из 12: $C_{12}^2 = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2!10!} = \frac{12 \cdot 11}{2 \cdot 1} = 66$ Всего способов выбрать 3 бракованные и 2 небракованные: $C_3^3 \cdot C_{12}^2 = 1 \cdot 66 = 66$ Вероятность: $P(г) = \frac{C_3^3 \cdot C_{12}^2}{C_{15}^5} = \frac{66}{3003} = \frac{2}{91} \approx 0.0220$ **Ответы:** a) $\approx 0.2637$ б) $\approx 0.7363$ в) $\approx 0.2198$ г) $\approx 0.0220