Докажи, что $ABNM$ - параллелограмм, если $ABCD$ - параллелограмм, $AN$ - биссектриса угла $BAD$, $BM$ - биссектриса угла $ABC$.

Для доказательства, что $ABNM$ – параллелограмм, нужно показать, что его противоположные стороны параллельны или равны. 1. $ABCD$ – параллелограмм, значит, $AD \parallel BC$ и $AB \parallel CD$. 2. $AN$ – биссектриса угла $\angle BAD$, следовательно, $\angle BAN = \angle NAD$. 3. $BM$ – биссектриса угла $\angle ABC$, следовательно, $\angle ABM = \angle MBC$. 4. Так как $AD \parallel BC$, то $\angle NAD = \angle ANB$ (накрест лежащие углы). Значит, $\angle BAN = \angle ANB$, и треугольник $ABN$ – равнобедренный, следовательно, $AB = BN$. 5. Аналогично, так как $AB \parallel CD$, то $\angle ABM = \angle BMC$ (накрест лежащие углы). Значит, $\angle ABM = \angle BMC$, и треугольник $ABM$ – равнобедренный, следовательно, $AB = AM$. 6. Из пунктов 4 и 5 следует, что $AM = BN = AB$. 7. Так как $AB \parallel MN$ (потому что $AB \parallel CD$), и $AM = BN = AB$, то $ABNM$ – параллелограмм (по признаку: если две противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны, то это параллелограмм). **Ответ:** $ABNM$ – параллелограмм.