Найди третью сторону треугольника и его площадь, если две стороны равны 6 см и 8 см, а угол между ними – 60°.

1. Применим теорему косинусов, чтобы найти третью сторону треугольника (пусть это будет сторона $c$): $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)$, где $a$ и $b$ - известные стороны, $\gamma$ - угол между ними. Подставляем значения: $c^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ) = 36 + 64 - 96 \cdot 0.5 = 100 - 48 = 52$. Тогда $c = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ см. Чтобы найти площадь треугольника, используем формулу: $S = \frac{1}{2}ab \sin(\gamma)$. Подставляем значения: $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin(60^\circ) = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$ см$^2$. **Ответ: Третья сторона равна $2\sqrt{13}$ см, площадь равна $12\sqrt{3}$ см$^2$.** 2. По теореме синусов: $\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}$. Отсюда $BC = \frac{AB \cdot \sin A}{\sin C} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \sin 120^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 3\sqrt{3}$ см. **Ответ: Сторона BC равна $3\sqrt{3}$ см.** 3. Проверим, выполняется ли неравенство треугольника: $7 + 10 > 13$, $7 + 13 > 10$, $10 + 13 > 7$. Все неравенства выполняются, значит, такой треугольник существует. Проверим, является ли треугольник прямоугольным, используя теорему Пифагора (для наибольшей стороны): $7^2 + 10^2 = 49 + 100 = 149$ $13^2 = 169$ Так как $149 < 169$, то треугольник тупоугольный. **Ответ: Треугольник тупоугольный.** 4. Допущение: одна из сторон равна 28 см. Пусть $a$ - одна сторона, тогда $b = a + 8$. Третья сторона $c = 28$ см. Периметр $P = a + b + c = a + (a + 8) + 28 = 2a + 36$. Применим теорему косинусов: $28^2 = a^2 + (a+8)^2 - 2 \cdot a \cdot (a+8) \cdot \cos 120^\circ$. Тогда $784 = a^2 + a^2 + 16a + 64 - 2a(a+8) \cdot (-0.5)$, $784 = 2a^2 + 16a + 64 + a^2 + 8a$, $3a^2 + 24a - 720 = 0$, $a^2 + 8a - 240 = 0$. Решаем квадратное уравнение: $D = 8^2 - 4 \cdot (-240) = 64 + 960 = 1024$, $a = \frac{-8 \pm \sqrt{1024}}{2} = \frac{-8 \pm 32}{2}$. Берём положительный корень: $a = \frac{-8 + 32}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см. Тогда $b = 12 + 8 = 20$ см. Периметр $P = 12 + 20 + 28 = 60$ см. **Ответ: Периметр треугольника равен 60 см.** 5. Для нахождения радиуса описанной окружности используем формулу: $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ - стороны треугольника, $S$ - его площадь. Сначала найдем площадь треугольника по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$ - полупериметр. $p = \frac{13 + 20 + 21}{2} = \frac{54}{2} = 27$ см. $S = \sqrt{27(27-13)(27-20)(27-21)} = \sqrt{27 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{3 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 3 \cdot 7^2 \cdot 3} = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot \sqrt{9} = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 3 = 126$ см$^2$. Теперь найдем радиус: $R = \frac{13 \cdot 20 \cdot 21}{4 \cdot 126} = \frac{13 \cdot 5 \cdot 21}{126} = \frac{13 \cdot 5}{6} = \frac{65}{6} = 10\frac{5}{6}$ см. **Ответ: Радиус окружности равен $10\frac{5}{6}$ см.** 6. Допущение: Медиана проведена к стороне с = х Пусть $a = 6$ см, $b = 8$ см, медиана $m_c = 14$ см. Тогда неизвестную сторону $c$ можно найти по формуле: $m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$ $14 = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 6^2 + 2 \cdot 8^2 - c^2}$ $28 = \sqrt{2 \cdot 36 + 2 \cdot 64 - c^2}$ $28^2 = 784 = 72 + 128 - c^2$ $784 = 200 - c^2$ $c^2 = 200 - 784 = -584$ Так как $c^2$ не может быть отрицательным, то такого треугольника не существует. **Ответ: Такого треугольника не существует.**