Реши уравнение $2^{2x^2} + 2^{x^2+2x+2} = 2^{5+4x}$ и найди все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[-1;2]$.

13. a) Решим уравнение $2^{2x^2} + 2^{x^2+2x+2} = 2^{5+4x}$. Заметим, что если $2^{2x^2} = 2^{x^2+2x+2}$, то $2^{2x^2} + 2^{x^2+2x+2} = 2 \cdot 2^{2x^2} = 2^{1+2x^2}$. Тогда уравнение можно переписать как $2^{1+2x^2} = 2^{5+4x}$. Приравняем показатели степеней: $1+2x^2 = 5+4x$. Перенесем все в одну сторону: $2x^2 - 4x - 4 = 0$. Разделим на 2: $x^2 - 2x - 2 = 0$. Решим квадратное уравнение: $x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4+8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$. Таким образом, $x_1 = 1 + \sqrt{3}$ и $x_2 = 1 - \sqrt{3}$. Теперь проверим, что $2^{2x^2} = 2^{x^2+2x+2}$. Это выполняется, если $2x^2 = x^2+2x+2$, то есть $x^2 - 2x - 2 = 0$, что мы уже получили. б) Найдем корни, принадлежащие отрезку $[-1; 2]$. $x_1 = 1 + \sqrt{3} \approx 1 + 1.732 = 2.732$. Этот корень не принадлежит отрезку $[-1; 2]$. $x_2 = 1 - \sqrt{3} \approx 1 - 1.732 = -0.732$. Этот корень принадлежит отрезку $[-1; 2]$. **Ответ:** а) $x_1 = 1 + \sqrt{3}$, $x_2 = 1 - \sqrt{3}$; б) $x = 1 - \sqrt{3}$