Докажи, что √55 + √35 > √120

Привет! Давай попробуем доказать эти неравенства. 1) $\sqrt{55} + \sqrt{35} > \sqrt{120}$. Чтобы доказать это, возведём обе части неравенства в квадрат. Если квадрат левой части будет больше квадрата правой части, то и само неравенство верно: $(\sqrt{55} + \sqrt{35})^2 = 55 + 2\sqrt{55 \cdot 35} + 35 = 90 + 2\sqrt{1925}$$ $(\sqrt{120})^2 = 120$ Теперь сравним $90 + 2\sqrt{1925}$ и $120$. Для этого сравним $2\sqrt{1925}$ и $30$ (так как $120 - 90 = 30$). Возведём в квадрат обе части: $(2\sqrt{1925})^2 = 4 \cdot 1925 = 7700$, а $30^2 = 900$. Так как $7700 > 900$, то $2\sqrt{1925} > 30$, а значит, $90 + 2\sqrt{1925} > 120$. Следовательно, $\sqrt{55} + \sqrt{35} > \sqrt{120}$. 2) $\sqrt{119} - \sqrt{67} < 3$. Чтобы доказать это, перенесём $\sqrt{67}$ в правую часть: $\sqrt{119} < 3 + \sqrt{67}$ Теперь возведём обе части в квадрат: $(\sqrt{119})^2 = 119$ $(3 + \sqrt{67})^2 = 9 + 6\sqrt{67} + 67 = 76 + 6\sqrt{67}$ Сравним $119$ и $76 + 6\sqrt{67}$. Для этого сравним $43$ (так как $119 - 76 = 43$) и $6\sqrt{67}$. Возведём в квадрат обе части: $43^2 = 1849$, а $(6\sqrt{67})^2 = 36 \cdot 67 = 2412$. Так как $1849 < 2412$, то $43 < 6\sqrt{67}$, а значит, $119 < 76 + 6\sqrt{67}$. Следовательно, $\sqrt{119} - \sqrt{67} < 3$. 3) $\sqrt{99} - \sqrt{82} < 1$. Перенесём $\sqrt{82}$ в правую часть: $\sqrt{99} < 1 + \sqrt{82}$ Возведём обе части в квадрат: $(\sqrt{99})^2 = 99$ $(1 + \sqrt{82})^2 = 1 + 2\sqrt{82} + 82 = 83 + 2\sqrt{82}$ Сравним $99$ и $83 + 2\sqrt{82}$. Для этого сравним $16$ (так как $99 - 83 = 16$) и $2\sqrt{82}$. Возведём в квадрат обе части: $16^2 = 256$, а $(2\sqrt{82})^2 = 4 \cdot 82 = 328$. Так как $256 < 328$, то $16 < 2\sqrt{82}$, а значит, $99 < 83 + 2\sqrt{82}$. Следовательно, $\sqrt{99} - \sqrt{82} < 1$.