Помоги мне решить задачи по геометрии. В треугольнике АВС AB=BC, AH делит сторону BC на отрезки BH=21 и CH=14. Найди cosB

Конечно, сейчас помогу! **8. Тип 15 № 352327** В треугольнике $ABC$ $AB = BC$, $AH$ делит сторону $BC$ на отрезки $BH = 21$ и $CH = 14$. Нужно найти $cosB$. Решение: 1. Найдём сторону $BC$: $BC = BH + CH = 21 + 14 = 35$. 2. Так как $AB = BC$, то $AB = 35$. 3. Рассмотрим треугольник $ABH$. В нём $cosB = \frac{BH}{AB} = \frac{21}{35} = \frac{3}{5} = 0.6$. **Ответ: cosB = 0.6** **9. Тип 15 № 311475** Диагональ трапеции делит её среднюю линию на отрезки, равные 4 см и 3 см. Нужно найти меньшее основание трапеции. Решение: 1. Средняя линия трапеции равна сумме отрезков, на которые она делится диагональю: $4 + 3 = 7$ см. 2. Пусть $x$ и $y$ – основания трапеции, где $x < y$. Тогда средняя линия равна $\frac{x+y}{2} = 7$. 3. Также, диагональ делит среднюю линию в отношении, равном отношению оснований, то есть $\frac{x}{y} = \frac{3}{4}$. 4. Выразим $x$ через $y$: $x = \frac{3}{4}y$. 5. Подставим в уравнение для средней линии: $\frac{\frac{3}{4}y + y}{2} = 7$. 6. Упростим: $\frac{7}{8}y = 7$, откуда $y = 8$ см. 7. Тогда $x = \frac{3}{4} \cdot 8 = 6$ см. **Ответ: Меньшее основание трапеции равно 6 см.** **10. Тип 15 № 350482** Площадь прямоугольного треугольника равна $\frac{1250}{\sqrt{3}}$. Один из острых углов равен $30°$. Нужно найти длину катета, лежащего напротив этого угла. Решение: 1. Пусть $a$ – катет, лежащий напротив угла $30°$, а $b$ – другой катет. Тогда площадь треугольника $S = \frac{1}{2}ab$. 2. Известно, что $S = \frac{1250}{\sqrt{3}}$. Значит, $\frac{1}{2}ab = \frac{1250}{\sqrt{3}}$. 3. Также известно, что $tg30° = \frac{a}{b} = \frac{1}{\sqrt{3}}$, откуда $b = a\sqrt{3}$. 4. Подставим $b$ в уравнение площади: $\frac{1}{2}a(a\sqrt{3}) = \frac{1250}{\sqrt{3}}$. 5. Упростим: $a^2 = \frac{2500}{3}$, значит, $a = \frac{50}{\sqrt{3}} = \frac{50\sqrt{3}}{3}$. **Ответ: Длина катета равна $\frac{50\sqrt{3}}{3}$.** **11. Тип 16 № 316346** Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 4. Угол при вершине, противолежащей основанию, равен $120°$. Нужно найти диаметр окружности, описанной около этого треугольника. Решение: 1. Воспользуемся теоремой синусов: $\frac{a}{sinA} = 2R$, где $a$ – сторона треугольника, $A$ – противолежащий угол, $R$ – радиус описанной окружности. 2. В нашем случае $a = 4$, $A = 120°$. Значит, $\frac{4}{sin120°} = 2R$. 3. $sin120° = sin(180° - 60°) = sin60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$. 4. Тогда $\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$, откуда $2R = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$. **Ответ: Диаметр окружности равен $\frac{8\sqrt{3}}{3}$.** **12. Тип 16 № 353392** Касательные в точках $A$ и $B$ к окружности с центром $O$ пересекаются под углом $68°$. Нужно найти угол $ABO$. Решение: 1. Угол между касательными равен углу между радиусами, проведёнными в точки касания, минус $180°$. То есть $\angle AOB = 180° - 68° = 112°$. 2. Треугольник $AOB$ равнобедренный, так как $OA = OB$ (радиусы). Значит, $\angle OAB = \angle OBA$. 3. Сумма углов в треугольнике $AOB$ равна $180°$, то есть $\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180°$. 4. Значит, $2\angle OBA = 180° - 112° = 68°$, откуда $\angle OBA = 34°$. **Ответ: Угол $ABO$ равен $34°$.** **13. Тип 16 № 339419** На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ взяты точки $M$ и $N$. Известно, что $\angle NBA = 38°$. Нужно найти угол $NMB$. Решение: 1. Угол $ANB$ опирается на диаметр, следовательно, он прямой, то есть $\angle ANB = 90°$. 2. В треугольнике $ANB$ сумма углов равна $180°$, то есть $\angle NAB + \angle NBA + \angle ANB = 180°$. 3. Значит, $\angle NAB = 180° - 90° - 38° = 52°$. 4. Угол $NMB$ опирается на ту же дугу, что и угол $NAB$, следовательно, они равны, то есть $\angle NMB = \angle NAB = 52°$. **Ответ: Угол $NMB$ равен $52°$.**