Помоги мне для следующих функций найти: a) интервалы монотонности; б) точки экстремума; в) вычисли значения функции в экстремальных точках. 1) y = x²-2x² + x²-2

Привет! Давай помогу тебе разобраться с этими функциями. Тебе нужно найти интервалы, где функция то растёт, то убывает (монотонность), точки, где у неё горки или впадины (экстремумы), и значения функции в этих точках. **1) $y = x^4 - 2x^3 + x^2 - 2$** * **a) Интервалы монотонности;** Чтобы найти, где функция растёт или убывает, надо найти её производную и посмотреть, где она больше или меньше нуля. Производная поможет увидеть, как быстро меняется функция в каждой точке. $y' = 4x^3 - 6x^2 + 2x$ Теперь надо найти, где $y' = 0$. Это будут точки, где функция меняет направление (с роста на убывание или наоборот). $4x^3 - 6x^2 + 2x = 0$ $2x(2x^2 - 3x + 1) = 0$ $x = 0$ или $2x^2 - 3x + 1 = 0$ Решаем квадратное уравнение: $D = (-3)^2 - 4 * 2 * 1 = 9 - 8 = 1$ $x_1 = (3 + 1) / 4 = 1$ $x_2 = (3 - 1) / 4 = 0.5$ Получается, что у нас три точки: $x = 0, x = 0.5, x = 1$. Теперь нужно проверить знаки производной на разных интервалах: * $x < 0$: $y' < 0$ (функция убывает) * $0 < x < 0.5$: $y' > 0$ (функция возрастает) * $0.5 < x < 1$: $y' < 0$ (функция убывает) * $x > 1$: $y' > 0$ (функция возрастает) * **б) Точки экстремума;** Точки экстремума - это точки, где производная равна нулю. У нас это $x = 0, x = 0.5, x = 1$. * **в) Значения функции в экстремальных точках.** Теперь подставим эти значения в исходную функцию, чтобы узнать высоту этих горок и впадин: $y(0) = 0^4 - 2 * 0^3 + 0^2 - 2 = -2$ $y(0.5) = (0.5)^4 - 2 * (0.5)^3 + (0.5)^2 - 2 = 0.0625 - 0.25 + 0.25 - 2 = -1.9375$ $y(1) = 1^4 - 2 * 1^3 + 1^2 - 2 = 1 - 2 + 1 - 2 = -2$ **2) $y = x^2 + \frac{2}{x}$** * **a) Интервалы монотонности;** Находим производную: $y' = 2x - \frac{2}{x^2}$ Приравниваем к нулю: $2x - \frac{2}{x^2} = 0$ $2x = \frac{2}{x^2}$ $x^3 = 1$ $x = 1$ Теперь надо проверить знаки производной на разных интервалах: * $x < 0$: функция не определена (деление на ноль) * $0 < x < 1$: $y' < 0$ (функция убывает) * $x > 1$: $y' > 0$ (функция возрастает) * **б) Точки экстремума;** Точка экстремума: $x = 1$. * **в) Значения функции в экстремальных точках.** $y(1) = 1^2 + \frac{2}{1} = 1 + 2 = 3$ **3) $y = x - 2\sqrt{x}$** * **a) Интервалы монотонности;** Находим производную: $y' = 1 - \frac{1}{\sqrt{x}}$ Приравниваем к нулю: $1 - \frac{1}{\sqrt{x}} = 0$ $\frac{1}{\sqrt{x}} = 1$ $\sqrt{x} = 1$ $x = 1$ Теперь надо проверить знаки производной на разных интервалах (учитываем, что $x >= 0$, так как корень): * $0 < x < 1$: $y' < 0$ (функция убывает) * $x > 1$: $y' > 0$ (функция возрастает) * **б) Точки экстремума;** Точка экстремума: $x = 1$. * **в) Значения функции в экстремальных точках.** $y(1) = 1 - 2\sqrt{1} = 1 - 2 = -1$ Всё, готово! Если что-то непонятно, спрашивай ещё!