Зачет по теме «Тригонометрические уравнения»

Привет! Давай разберем эти тригонометрические уравнения. Они классические, поэтому будем действовать по стандартным формулам. 1) $\text{tg} \frac{3x}{2} = 0$ Тангенс равен нулю там, где синус равен нулю, то есть в точках $\pi n$. Значит, аргумент $\frac{3x}{2} = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Выражаем $x$: $3x = 2\pi n \implies x = \frac{2\pi n}{3}$. 2) $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ Косинус отрицателен во II и III четвертях. Основное значение (во II четверти) равно $\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Общее решение: $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. 3) $(\sin x + 1)(\text{tg} x - 1) = 0$ Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: а) $\sin x + 1 = 0 \implies \sin x = -1$. Это частный случай, $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$. б) $\text{tg} x - 1 = 0 \implies \text{tg} x = 1$. Это табличное значение, $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$. Важно: тангенс не определен при $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$. Наши ответы в эту область не попадают, поэтому оба решения подходят. Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \ x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. 4) $2\text{tg}^2 x + 3\text{tg} x - 2 = 0$ Это квадратное уравнение относительно $\text{tg} x$. Пусть $t = \text{tg} x$, тогда $2t^2 + 3t - 2 = 0$. Дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$. $t_1 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$, $t_2 = \frac{-3 - 5}{4} = -2$. Теперь переходим к иксу: а) $\text{tg} x = 0.5 \implies x = \text{arctg}(0.5) + \pi n$. б) $\text{tg} x = -2 \implies x = \text{arctg}(-2) + \pi n = -\text{arctg}(2) + \pi n$. 5) $4\sin^2 x - 3\sin x \cos x = 0$ Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки: $\sin x (4\sin x - 3\cos x) = 0$. Произведение равно нулю: а) $\sin x = 0 \implies x = \pi n$. б) $4\sin x - 3\cos x = 0$. Разделим обе части на $\cos x$ (при условии $\cos x \neq 0$, что выполняется, так как если бы $\cos x = 0$, то и $\sin x = 0$, чего быть не может для одного угла): $4\text{tg} x - 3 = 0 \implies 4\text{tg} x = 3 \implies \text{tg} x = \frac{3}{4} = 0.75$. $x = \text{arctg}(0.75) + \pi n$. Ответ: $x = \pi n; \ x = \text{arctg}(0.75) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.