Ты просишь доказать по индукции равенство 1 + 2 + 3 + ... + n = (n + 1) n / 2

Конечно, давай докажем равенство по индукции для примера (а): $1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{(n + 1)n}{2}$. 1. **База индукции:** Проверим для $n = 1$. Левая часть: $1$ Правая часть: $\frac{(1 + 1) \cdot 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$ Обе части равны, значит, для $n = 1$ равенство выполняется. 2. **Индукционный переход:** Предположим, что равенство верно для некоторого натурального числа $k$, то есть: $1 + 2 + 3 + \dots + k = \frac{(k + 1)k}{2}$ Теперь докажем, что оно верно и для $k + 1$. Нужно показать, что: $1 + 2 + 3 + \dots + k + (k + 1) = \frac{((k + 1) + 1)(k + 1)}{2}$ 3. **Доказательство:** Начнём с левой части равенства для $k + 1$: $1 + 2 + 3 + \dots + k + (k + 1)$ Используем наше предположение, что $1 + 2 + 3 + \dots + k = \frac{(k + 1)k}{2}$: $\frac{(k + 1)k}{2} + (k + 1)$ Приведём к общему знаменателю: $\frac{(k + 1)k + 2(k + 1)}{2}$ Вынесем $(k + 1)$ за скобки: $\frac{(k + 1)(k + 2)}{2}$ Это и есть правая часть равенства для $k + 1$: $\frac{((k + 1) + 1)(k + 1)}{2}$ Таким образом, мы показали, что если равенство верно для $k$, то оно верно и для $k + 1$. **Вывод:** На основании принципа математической индукции, равенство $1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{(n + 1)n}{2}$ верно для всех натуральных чисел $n$. *Перевод: Конечно, давай докажем равенство по индукции для примера (а): $1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{(n + 1)n}{2}$. 1. **База индукции:** Проверим для $n = 1$. Левая часть: $1$ Правая часть: $\frac{(1 + 1) \cdot 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$ Обе части равны, значит, для $n = 1$ равенство выполняется. 2. **Индукционный переход:** Предположим, что равенство верно для некоторого натурального числа $k$, то есть: $1 + 2 + 3 + \dots + k = \frac{(k + 1)k}{2}$ Теперь докажем, что оно верно и для $k + 1$. Нужно показать, что: $1 + 2 + 3 + \dots + k + (k + 1) = \frac{((k + 1) + 1)(k + 1)}{2}$ 3. **Доказательство:** Начнём с левой части равенства для $k + 1$: $1 + 2 + 3 + \dots + k + (k + 1)$ Используем наше предположение, что $1 + 2 + 3 + \dots + k = \frac{(k + 1)k}{2}$: $\frac{(k + 1)k}{2} + (k + 1)$ Приведём к общему знаменателю: $\frac{(k + 1)k + 2(k + 1)}{2}$ Вынесем $(k + 1)$ за скобки: $\frac{(k + 1)(k + 2)}{2}$ Это и есть правая часть равенства для $k + 1$: $\frac{((k + 1) + 1)(k + 1)}{2}$ Таким образом, мы показали, что если равенство верно для $k$, то оно верно и для $k + 1$. **Вывод:** На основании принципа математической индукции, равенство $1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{(n + 1)n}{2}$ верно для всех натуральных чисел $n$*.