Реши задания по теме производная функции.

Конечно, сейчас помогу! **A1.** Чтобы найти $y'(-2)$, сначала нужно найти производную функции $y = x^2(3x^2 - 2)$. 1. Раскроем скобки: $y = 3x^4 - 2x^2$. 2. Найдем производную: $y' = 12x^3 - 4x$. 3. Подставим $x = -2$: $y'(-2) = 12(-2)^3 - 4(-2) = 12(-8) + 8 = -96 + 8 = -88$. **Ответ: В) -88** **A2.** Найдём $f'(x)$, если $f(x) = -x \sqrt{x}$. 1. Представим функцию как $f(x) = -x^{3/2}$. 2. Найдем производную: $f'(x) = -\frac{3}{2}x^{1/2} = -\frac{3}{2}\sqrt{x}$. **Ответ: Нет верного ответа** (но наиболее близкий А) **A3.** Вычислим $f'(\frac{\pi}{2})$ для функции $f(x) = (2x - 5) \cdot \sin 3x$. 1. Найдем производную, используя правило произведения: $f'(x) = 2 \sin 3x + (2x - 5) \cdot 3 \cos 3x = 2 \sin 3x + (6x - 15) \cos 3x$. 2. Подставим $x = \frac{\pi}{2}$: $f'(\frac{\pi}{2}) = 2 \sin (\frac{3\pi}{2}) + (6 \cdot \frac{\pi}{2} - 15) \cos (\frac{3\pi}{2}) = 2(-1) + (3\pi - 15) \cdot 0 = -2$. **Ответ: B) -2** **A4.** Найдём максимум функции $y = -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 6x - 4\frac{1}{2}$. 1. Найдем производную: $y' = -x^2 + x + 6$. 2. Приравняем производную к нулю: $-x^2 + x + 6 = 0$. 3. Решим квадратное уравнение: $x^2 - x - 6 = 0$. Корни: $x_1 = -2$, $x_2 = 3$. 4. Найдем вторую производную: $y'' = -2x + 1$. 5. Определим знак второй производной в точках экстремума: * $y''(-2) = -2(-2) + 1 = 5 > 0$ (минимум). * $y''(3) = -2(3) + 1 = -5 < 0$ (максимум). 6. Вычислим значение функции в точке максимума $x = 3$: $y(3) = -\frac{3^3}{3} + \frac{3^2}{2} + 6 \cdot 3 - 4\frac{1}{2} = -9 + \frac{9}{2} + 18 - \frac{9}{2} = 9$. **Ответ: А) 9** **A5.** Найдем сумму целых чисел, принадлежащих промежутку возрастания функции $f(x) = \frac{x+1}{x^2 - 2x}$. 1. Найдем производную: $f'(x) = \frac{(1)(x^2 - 2x) - (x+1)(2x - 2)}{(x^2 - 2x)^2} = \frac{x^2 - 2x - (2x^2 - 2x + 2x - 2)}{(x^2 - 2x)^2} = \frac{-x^2 - 2x + 2}{(x^2 - 2x)^2}$. 2. Найдем, когда $f'(x) > 0$ (функция возрастает). Так как знаменатель всегда положителен (кроме точек, где функция не определена), нужно найти, когда $-x^2 - 2x + 2 > 0$. 3. Решим неравенство $x^2 + 2x - 2 < 0$. Корни уравнения $x^2 + 2x - 2 = 0$: $x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$. 4. Следовательно, $-1 - \sqrt{3} < x < -1 + \sqrt{3}$. Так как $\sqrt{3} \approx 1.73$, то $-2.73 < x < 0.73$. 5. Учитываем, что функция не определена при $x = 0$ и $x = 2$. Таким образом, целые числа в интервале возрастания: $-2, -1$. 6. Сумма целых чисел: $-2 + (-1) = -3$. **Ответ: Б) -3** **A6.** К графику функции $f(x) = x^2 - 4x$ проведена касательная в точке $M(1; -3)$. Найдите угловой коэффициент касательной. 1. Найдем производную: $f'(x) = 2x - 4$. 2. Вычислим значение производной в точке $x = 1$: $f'(1) = 2(1) - 4 = -2$. **Ответ: Б) -2** **A7.** Выберите уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^2 + 3x + 5$, если касательная проходит через точку $(0; 1)$ и абсцисса точки касания отрицательна. 1. Пусть $x_0$ — абсцисса точки касания. Тогда $f(x_0) = x_0^2 + 3x_0 + 5$. 2. Уравнение касательной: $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$. 3. Найдем производную: $f'(x) = 2x + 3$, значит, $f'(x_0) = 2x_0 + 3$. 4. Уравнение касательной: $y = (2x_0 + 3)(x - x_0) + x_0^2 + 3x_0 + 5$. 5. Так как касательная проходит через точку $(0; 1)$, подставим эти координаты: $1 = (2x_0 + 3)(0 - x_0) + x_0^2 + 3x_0 + 5$. 6. Решим уравнение: $1 = -2x_0^2 - 3x_0 + x_0^2 + 3x_0 + 5$, значит, $x_0^2 = -4$. Решений нет, т.к. $x_0$ - отрицательное. **Недостаточно данных для точного решения.** **А8.** Точка движется по координатной прямой по закону $x(t) = -t^2 + 9t + 8$. Определите координату точки в момент времени, когда скорость движения равна 1. 1. Найдем скорость как производную от координаты: $v(t) = x'(t) = -2t + 9$. 2. Приравняем скорость к 1: $-2t + 9 = 1$, значит, $2t = 8$, и $t = 4$. 3. Найдем координату точки в момент времени $t = 4$: $x(4) = -(4)^2 + 9(4) + 8 = -16 + 36 + 8 = 28$. **Ответ: Г) 28** **А9.** Дан график функции $y = f(x)$. Найти значения $x$, при которых $f'(x) \le 0$. Производная $f'(x)$ меньше или равна нулю, когда функция убывает. По графику видим, что функция убывает на промежутках $[-2; -1]$ и $[3; 5]$. **Ответ: Г) $[-2; -1] \cup [3; 5]$**