Привет! Давай разберёмся с этими заданиями по порядку. Я постараюсь объяснить всё так, чтобы тебе было понятно.
1. Решим уравнение: $\frac{5x-1}{4} - \frac{x-2}{3} = 10 - x$
Чтобы решить это уравнение, сначала избавимся от дробей. Для этого умножим обе части уравнения на 12 (это общее кратное чисел 4 и 3):
$$12 \cdot \left( \frac{5x-1}{4} - \frac{x-2}{3} \right) = 12 \cdot (10 - x)$$
$$3(5x - 1) - 4(x - 2) = 120 - 12x$$
Теперь раскроем скобки:
$$15x - 3 - 4x + 8 = 120 - 12x$$
Приведём подобные слагаемые:
$$11x + 5 = 120 - 12x$$
Перенесём все слагаемые с $x$ в левую часть, а числа – в правую:
$$11x + 12x = 120 - 5$$
$$23x = 115$$
Теперь найдём $x$:
$$x = \frac{115}{23}$$
$$x = 5$$
**Ответ: x = 5**
2. Упростим выражение:
a) $(2m - 3n)(5m + n) - 10(m + n)^2$
Сначала раскроем скобки в первом произведении:
$$10m^2 + 2mn - 15mn - 3n^2 - 10(m + n)^2$$
$$10m^2 - 13mn - 3n^2 - 10(m + n)^2$$
Теперь раскроем скобки во втором выражении:
$$10m^2 - 13mn - 3n^2 - 10(m^2 + 2mn + n^2)$$
$$10m^2 - 13mn - 3n^2 - 10m^2 - 20mn - 10n^2$$
Приведём подобные слагаемые:
$$-33mn - 13n^2$$
**Ответ: $-33mn - 13n^2$**
б) $(-3a^2b^3)^3 \cdot (-2a^5b)^2$
Сначала возведём каждую скобку в степень:
$$(-27a^6b^9) \cdot (4a^{10}b^2)$$
Теперь перемножим:
$$-108a^{16}b^{11}$$
**Ответ: $-108a^{16}b^{11}$**
3. Разложим на множители:
a) $b + bc - bm$
Вынесем $b$ за скобку:
$$b(1 + c - m)$$
**Ответ: $b(1 + c - m)$**
б) $a^2 - 9b^2 + a - 3b$
Заметим, что $a^2 - 9b^2$ – это разность квадратов, которую можно разложить как $(a - 3b)(a + 3b)$. Тогда выражение можно переписать так:
$$(a - 3b)(a + 3b) + (a - 3b)$$
Теперь вынесем $(a - 3b)$ за скобку:
$$(a - 3b)(a + 3b + 1)$$
**Ответ: $(a - 3b)(a + 3b + 1)$**
4. Построим график функции $y = 5 - 3x$ и укажем координаты точек его пересечения с осями координат.
Чтобы построить график, нужно найти две точки. Давай найдём точки пересечения с осями координат.
* Пересечение с осью $y$ (то есть $x = 0$):
$y = 5 - 3 \cdot 0 = 5$. Точка $(0, 5)$.
* Пересечение с осью $x$ (то есть $y = 0$):
$0 = 5 - 3x$
$3x = 5$
$x = \frac{5}{3} \approx 1.67$. Точка $(\frac{5}{3}, 0)$.
Теперь можно нарисовать график, проведя прямую через эти две точки. Координаты точек пересечения с осями координат: $(0, 5)$ и $(\frac{5}{3}, 0)$.
5. Решим систему уравнений:
$$\begin{cases}
5x - 3y = 11, \\
3x + y = 1.
\end{cases}$$
Выразим $y$ из второго уравнения:
$$y = 1 - 3x$$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$$5x - 3(1 - 3x) = 11$$
Раскроем скобки:
$$5x - 3 + 9x = 11$$
Приведём подобные слагаемые:
$$14x = 14$$
$$x = 1$$
Теперь найдём $y$:
$$y = 1 - 3 \cdot 1 = -2$$
**Ответ: $x = 1, y = -2$**
6. Пешеход сначала спускался со скоростью 4 км/ч, а затем поднимался в горку со скоростью 3 км/ч. Найдите общий путь, проделанный пешеходом, если спуск был на 5 км длиннее подъема, а затраченное на весь путь время равно 3 ч.
Пусть $x$ – расстояние подъема (в км), тогда $x + 5$ – расстояние спуска (в км).
Время спуска: $\frac{x + 5}{4}$ (в часах).
Время подъема: $\frac{x}{3}$ (в часах).
Общее время: $\frac{x + 5}{4} + \frac{x}{3} = 3$
Умножим обе части уравнения на 12, чтобы избавиться от дробей:
$$3(x + 5) + 4x = 36$$
$$3x + 15 + 4x = 36$$
$$7x = 21$$
$$x = 3$$
Тогда расстояние подъема – 3 км, а расстояние спуска – 8 км. Общий путь: $3 + 8 = 11$ км.
**Ответ: 11 км**
7*. Для каждого значения $a$ решите уравнение $(a - 2)(a + 2) \cdot x = a - 2$.
Разделим обе части уравнения на $(a - 2)(a + 2)$:
$$x = \frac{a - 2}{(a - 2)(a + 2)}$$
Если $a \neq 2$, то можно сократить:
$$x = \frac{1}{a + 2}$$
Если $a = 2$, то уравнение принимает вид:
$$0 \cdot x = 0$$
Это означает, что $x$ может быть любым числом.
**Ответ:**
* Если $a = 2$, то $x$ – любое число.
* Если $a \neq 2$ и $a \neq -2$, то $x = \frac{1}{a + 2}$.
* Если $a = -2$, то уравнение не имеет решений, так как деление на ноль невозможно.
Надеюсь, теперь тебе всё понятно! Если есть ещё вопросы, не стесняйся, спрашивай.
