Реши неравенство (x-2)(x + 7) < 0, применяя метод интервалов

Привет! Давай решим неравенства методом интервалов. Это как игра в «больше-меньше» на числовой прямой. 1. $(x-2)(x + 7) < 0$ Чтобы решить это неравенство, нужно найти, когда выражение $(x-2)(x + 7)$ меньше нуля. Сначала найдём точки, где оно равно нулю: $x = 2$ и $x = -7$. Отметим эти точки на числовой прямой и посмотрим, какие знаки принимает выражение на каждом из интервалов: * $x < -7$: оба множителя отрицательные, значит, произведение положительное. * $-7 < x < 2$: первый множитель отрицательный, второй положительный, значит, произведение отрицательное. * $x > 2$: оба множителя положительные, значит, произведение положительное. Нам нужен интервал, где произведение отрицательное, то есть $-7 < x < 2$. **Ответ: $x \in (-7; 2)$** 2. $(x + 9)(x - 3)(1-x) < 0$ Тут у нас три множителя. Находим нули: $x = -9$, $x = 3$ и $x = 1$. Расставляем их на числовой прямой и определяем знаки на интервалах. Важно помнить, что множитель $(1-x)$ меняет знак, когда $x$ проходит через 1. * $x < -9$: все три множителя отрицательные, произведение отрицательное. * $-9 < x < 1$: два множителя отрицательные, один положительный, произведение положительное. * $1 < x < 3$: один множитель отрицательный, два положительные, произведение отрицательное. * $x > 3$: все три множителя положительные, произведение положительное. Нам нужны интервалы, где произведение отрицательное, то есть $x < -9$ и $1 < x < 3$. **Ответ: $x \in (-\infty; -9) \cup (1; 3)$** 3. $x(2x + 8)(x - 3) > 0$ Ищем нули: $x = 0$, $x = -4$ и $x = 3$. Расставляем на прямой и смотрим знаки. * $x < -4$: все три множителя отрицательные, произведение отрицательное. * $-4 < x < 0$: два множителя отрицательные, один положительный, произведение положительное. * $0 < x < 3$: один множитель отрицательный, два положительные, произведение отрицательное. * $x > 3$: все три множителя положительные, произведение положительное. Нам нужны интервалы, где произведение положительное, то есть $-4 < x < 0$ и $x > 3$. **Ответ: $x \in (-4; 0) \cup (3; +\infty)$** 4. $(x + 1)(x + 6)(x-4) \le 0$ Тут тоже три множителя. Находим нули: $x = -1$, $x = -6$ и $x = 4$. Неравенство нестрогое, поэтому точки включаем. * $x < -6$: все три множителя отрицательные, произведение отрицательное. * $-6 < x < -1$: два множителя отрицательные, один положительный, произведение положительное. * $-1 < x < 4$: один множитель отрицательный, два положительные, произведение отрицательное. * $x > 4$: все три множителя положительные, произведение положительное. Нам нужны интервалы, где произведение меньше или равно нулю, то есть $x \le -6$ и $-1 \le x \le 4$. **Ответ: $x \in (-\infty; -6] \cup [-1; 4]$** 5. $(x-4x^2)(x - 1) > 0$ Сначала упростим первый множитель: $x - 4x^2 = x(1 - 4x)$. Теперь ищем нули: $x = 0$, $x = 1/4$ и $x = 1$. * $x < 0$: оба множителя отрицательные, произведение положительное. * $0 < x < 1/4$: первый множитель положительный, второй отрицательный, произведение отрицательное. * $1/4 < x < 1$: оба множителя положительные, произведение положительное. * $x > 1$: первый множитель отрицательный, второй положительный, произведение отрицательное. Нам нужны интервалы, где произведение положительное, то есть $x < 0$ и $1/4 < x < 1$. **Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{1}{4}; 1)$** 6. $(x + 5)(x - 7)(3x – 1) > 0$ Находим нули: $x = -5$, $x = 7$ и $x = 1/3$. Расставляем на прямой и смотрим знаки. * $x < -5$: все три множителя отрицательные, произведение отрицательное. * $-5 < x < 1/3$: два множителя отрицательные, один положительный, произведение положительное. * $1/3 < x < 7$: один множитель отрицательный, два положительные, произведение отрицательное. * $x > 7$: все три множителя положительные, произведение положительное. Нам нужны интервалы, где произведение положительное, то есть $-5 < x < 1/3$ и $x > 7$. **Ответ: $x \in (-5; \frac{1}{3}) \cup (7; +\infty)$** 7. $\frac{x+3}{x-4} < 2$ Переносим всё в одну сторону: $\frac{x+3}{x-4} - 2 < 0$. Приводим к общему знаменателю: $\frac{x+3 - 2(x-4)}{x-4} < 0$. Упрощаем: $\frac{-x+11}{x-4} < 0$. Теперь ищем нули: $x = 11$ и $x = 4$. * $x < 4$: оба множителя положительные, значит, дробь положительная. * $4 < x < 11$: числитель положительный, знаменатель отрицательный, значит, дробь отрицательная. * $x > 11$: оба множителя отрицательные, значит, дробь положительная. Нам нужны интервалы, где дробь отрицательная, то есть $4 < x < 11$. **Ответ: $x \in (4; 11)$** 8. $\frac{x^2-4}{2x+1} \le 0$ Разложим числитель на множители: $\frac{(x-2)(x+2)}{2x+1} \le 0$. Теперь ищем нули: $x = 2$, $x = -2$ и $x = -1/2$. Важно помнить, что знаменатель не может быть равен нулю. * $x < -2$: все три множителя отрицательные, значит, дробь отрицательная. * $-2 < x < -1/2$: два множителя отрицательные, один положительный, значит, дробь положительная. * $-1/2 < x < 2$: один множитель отрицательный, два положительные, значит, дробь отрицательная. * $x > 2$: все три множителя положительные, значит, дробь положительная. Нам нужны интервалы, где дробь меньше или равна нулю, то есть $x \le -2$ и $-1/2 < x \le 2$. Но $x = -1/2$ не включаем, так как это ноль знаменателя. **Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup (-\frac{1}{2}; 2]$** 9. $\frac{x^2+2x-3}{2x-3} \ge 0$ Разложим числитель на множители: $x^2+2x-3 = (x+3)(x-1)$. Теперь ищем нули: $x = -3$, $x = 1$ и $x = 3/2$. * $x < -3$: все три множителя отрицательные, значит, дробь отрицательная. * $-3 < x < 1$: два множителя отрицательные, один положительный, значит, дробь положительная. * $1 < x < 3/2$: один множитель отрицательный, два положительные, значит, дробь отрицательная. * $x > 3/2$: все три множителя положительные, значит, дробь положительная. Нам нужны интервалы, где дробь больше или равна нулю, то есть $-3 \le x \le 1$ и $x > 3/2$. Но $x = 3/2$ не включаем, так как это ноль знаменателя. **Ответ: $x \in [-3; 1] \cup (\frac{3}{2}; +\infty)$** 10. $\frac{(x-6)(x-8)}{2x-7} < 0$ Находим нули: $x = 6$, $x = 8$ и $x = 7/2$. Расставляем на прямой и смотрим знаки. * $x < 7/2$: все три множителя отрицательные, значит, дробь отрицательная. * $7/2 < x < 6$: два множителя отрицательные, один положительный, значит, дробь положительная. * $6 < x < 8$: один множитель отрицательный, два положительные, значит, дробь отрицательная. * $x > 8$: все три множителя положительные, значит, дробь положительная. Нам нужны интервалы, где дробь отрицательная, то есть $x < 7/2$ и $6 < x < 8$. **Ответ: $x \in (-\infty; \frac{7}{2}) \cup (6; 8)$** 11. $\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)} \le 0$ Находим нули: $x = 1$, $x = 2$, $x = 3$ и $x = 4$. Важно помнить, что знаменатель не может быть равен нулю. * $x < 1$: все четыре множителя отрицательные, значит, дробь положительная. * $1 < x < 2$: три множителя отрицательные, один положительный, значит, дробь отрицательная. * $2 < x < 3$: два множителя отрицательные, два положительные, значит, дробь положительная. * $3 < x < 4$: один множитель отрицательный, три положительные, значит, дробь отрицательная. * $x > 4$: все четыре множителя положительные, значит, дробь положительная. Нам нужны интервалы, где дробь меньше или равна нулю, то есть $1 \le x \le 2$ и $3 < x < 4$. Но $x = 3$ и $x = 4$ не включаем, так как это нули знаменателя. **Ответ: $x \in [1; 2] \cup (3; 4)$**