Докажи, что четырёхугольник APCQ — параллелограмм

Для задачи 483: 1. Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. Так как $ABCD$ - параллелограмм, то $AB \parallel CD$ и $AB = CD$, а также $BC \parallel AD$ и $BC = AD$. 2. Дано, что точки $P$ и $Q$ лежат на диагонали $BD$, причём $PB = QD$. 3. Рассмотрим четырёхугольник $APCQ$. Нужно доказать, что он также является параллелограммом. 4. Так как $PB = QD$, то $BP = DQ$. 5. Поскольку $ABCD$ - параллелограмм, то $\angle PBC = \angle QDA$ как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD$. 6. Рассмотрим треугольники $\triangle PBC$ и $\triangle QDA$. У них: * $PB = QD$ (по условию), * $BC = AD$ (как противоположные стороны параллелограмма), * $\angle PBC = \angle QDA$ (доказано выше). 7. Следовательно, $\triangle PBC = \triangle QDA$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). 8. Из равенства треугольников следует, что $PC = QA$ и $\angle BCP = \angle DAQ$. 9. Так как $\angle BCP = \angle DAQ$, то $PC \parallel QA$. 10. Итак, в четырёхугольнике $APCQ$ стороны $PC$ и $QA$ равны и параллельны. Это означает, что $APCQ$ - параллелограмм (по признаку: если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то это параллелограмм). **Ответ:** Четырёхугольник $APCQ$ - параллелограмм.