При каких значениях a: а) сумма дробей (a + 1) / (a - 2) и (a - 4) / (a + 1) равна дроби (3a + 3) / (a² - a - 2)

a) Чтобы найти значения $a$, при которых сумма дробей $\frac{a+1}{a-2}$ и $\frac{a-4}{a+1}$ равна дроби $\frac{3a+3}{a^2-a-2}$, нужно решить уравнение: $$\frac{a+1}{a-2} + \frac{a-4}{a+1} = \frac{3a+3}{a^2-a-2}.$$ Приведи дроби к общему знаменателю $(a-2)(a+1)$. Тогда получим: $$\frac{(a+1)(a+1)}{(a-2)(a+1)} + \frac{(a-4)(a-2)}{(a-2)(a+1)} = \frac{3a+3}{(a-2)(a+1)}.$$ Теперь можно сложить числители: $$(a+1)^2 + (a-4)(a-2) = 3a+3.$$ Раскрой скобки и упрости: $$a^2 + 2a + 1 + a^2 - 6a + 8 = 3a + 3.$$ $$2a^2 - 4a + 9 = 3a + 3.$$ Перенеси все в одну сторону: $$2a^2 - 7a + 6 = 0.$$ Реши квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$. Корни: $$a_1 = \frac{7 + 1}{4} = 2, \quad a_2 = \frac{7 - 1}{4} = \frac{3}{2}.$$ Проверь, что $a$ не равно 2 и -1 (так как знаменатели не могут быть равны нулю). Значит, $a = \frac{3}{2}$ - единственное решение. б) Чтобы найти значения $a$, при которых разность дробей $\frac{3a-5}{a^2-1}$ и $\frac{6a-5}{a-a^2}$ равна дроби $\frac{3a+2}{a^2+a}$, нужно решить уравнение: $$\frac{3a-5}{a^2-1} - \frac{6a-5}{a-a^2} = \frac{3a+2}{a^2+a}.$$ Преобразуй дроби: $$\frac{3a-5}{(a-1)(a+1)} + \frac{6a-5}{a(a-1)} = \frac{3a+2}{a(a+1)}.$$ Приведи к общему знаменателю $a(a-1)(a+1)$. Получим: $$\frac{a(3a-5)}{a(a-1)(a+1)} + \frac{(6a-5)(a+1)}{a(a-1)(a+1)} = \frac{(3a+2)(a-1)}{a(a+1)(a-1)}.$$ Сложи числители: $$a(3a-5) + (6a-5)(a+1) = (3a+2)(a-1).$$ Раскрой скобки и упрости: $$3a^2 - 5a + 6a^2 + a - 5 = 3a^2 - a + 2a - 2.$$ $$9a^2 - 4a - 5 = 3a^2 + a - 2.$$ Перенеси все в одну сторону: $$6a^2 - 5a - 3 = 0.$$ Реши квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-3) = 25 + 72 = 97$. Корни: $$a_1 = \frac{5 + \sqrt{97}}{12}, \quad a_2 = \frac{5 - \sqrt{97}}{12}.$$ Проверь, что $a$ не равно 0, 1 и -1 (так как знаменатели не могут быть равны нулю). Оба корня подходят.