Мне дана функция f(x) = 4x / (x² + 1). Просят найти все значения аргумента, при которых: а) f'(x) = 0

Чтобы найти все значения аргумента, при которых производная функции $f(x) = \frac{4x}{x^2 + 1}$ равна нулю, больше нуля или меньше нуля, нужно сначала найти производную этой функции. Используем правило дифференцирования частного: если $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$, то $f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$. В нашем случае $u(x) = 4x$ и $v(x) = x^2 + 1$. Тогда $u'(x) = 4$ и $v'(x) = 2x$. Теперь найдем производную $f'(x)$: $$f'(x) = \frac{4(x^2 + 1) - 4x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4x^2 + 4 - 8x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4 - 4x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^2}$$ Теперь решим уравнения и неравенства: a) $f'(x) = 0$: $$\frac{4(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^2} = 0$$ Это выполняется, когда числитель равен нулю: $$4(1 - x^2) = 0$$ $$1 - x^2 = 0$$ $$x^2 = 1$$ $$x = \pm 1$$ б) $f'(x) > 0$: $$\frac{4(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^2} > 0$$ Знаменатель всегда положителен, поэтому знак производной определяется знаком числителя: $$1 - x^2 > 0$$ $$x^2 < 1$$ $$-1 < x < 1$$ в) $f'(x) < 0$: $$\frac{4(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^2} < 0$$ Опять же, знаменатель всегда положителен, поэтому: $$1 - x^2 < 0$$ $$x^2 > 1$$ $$x < -1 \quad \text{или} \quad x > 1$$ **Ответ:** a) $x = \pm 1$ б) $-1 < x < 1$ в) $x < -1$ или $x > 1$