Вычисли первообразную функции f(x) = x - cos²х, если x принадлежит от 0 до пи/2 и M = пи/4; пи²/32

Привет! Давай разберемся с этими задачками. Тебе нужно найти первообразную функцию $y = f(x)$, которая проходит через заданную точку $M(a; b)$. По сути, нужно найти такую функцию $F(x)$, что $F'(x) = f(x)$ и $F(a) = b$. 1) Для $f(x) = x - \cos^{-2}x$, где $x \in [0; \frac{\pi}{2}]$, и точки $M(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi^2}{32})$: Первообразная для $x$ это $\frac{x^2}{2}$. Первообразная для $\cos^{-2}x = \frac{1}{\cos^2x}$ это $\tan x$. Тогда $F(x) = \frac{x^2}{2} - \tan x + C$. Подставляем координаты точки $M(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi^2}{32})$: $$\frac{\pi^2}{32} = \frac{(\frac{\pi}{4})^2}{2} - \tan(\frac{\pi}{4}) + C$$ $$\frac{\pi^2}{32} = \frac{\pi^2}{32} - 1 + C$$ Отсюда $C = 1$. Получаем: $F(x) = \frac{x^2}{2} - \tan x + 1$. 2) Для $f(x) = 2\sin^{-2}x - x$, где $x \in (0; \frac{\pi}{2}]$, и точки $M(\frac{\pi}{4}; -\frac{\pi^2}{32})$: Первообразная для $\sin^{-2}x = \frac{1}{\sin^2x}$ это $-\cot x$. Первообразная для $x$ это $\frac{x^2}{2}$. Тогда $F(x) = -2\cot x - \frac{x^2}{2} + C$. Подставляем координаты точки $M(\frac{\pi}{4}; -\frac{\pi^2}{32})$: $$-\frac{\pi^2}{32} = -2\cot(\frac{\pi}{4}) - \frac{(\frac{\pi}{4})^2}{2} + C$$ $$-\frac{\pi^2}{32} = -2 - \frac{\pi^2}{32} + C$$ Отсюда $C = 2$. Получаем: $F(x) = -2\cot x - \frac{x^2}{2} + 2$. 3) Для $f(x) = x^{-3} + \cos x$, где $x \in (0; +\infty)$, и точки $M(0.5\pi; -\frac{1}{2\pi^2})$: Первообразная для $x^{-3}$ это $-\frac{1}{2x^2}$. Первообразная для $\cos x$ это $\sin x$. Тогда $F(x) = -\frac{1}{2x^2} + \sin x + C$. Подставляем координаты точки $M(0.5\pi; -\frac{1}{2\pi^2})$: $$-\frac{1}{2\pi^2} = -\frac{1}{2(0.5\pi)^2} + \sin(0.5\pi) + C$$ $$-\frac{1}{2\pi^2} = -\frac{1}{0.5\pi^2} + 1 + C$$ $$-\frac{1}{2\pi^2} = -\frac{2}{\pi^2} + 1 + C$$ Отсюда $C = \frac{3}{2\pi^2} - 1$. Получаем: $F(x) = -\frac{1}{2x^2} + \sin x + \frac{3}{2\pi^2} - 1$. 4) Для $f(x) = x^3 - \sin x$, где $x \in (0; +\infty)$, и точки $M(\pi; \frac{\pi^4}{4})$: Первообразная для $x^3$ это $\frac{x^4}{4}$. Первообразная для $-\sin x$ это $\cos x$. Тогда $F(x) = \frac{x^4}{4} + \cos x + C$. Подставляем координаты точки $M(\pi; \frac{\pi^4}{4})$: $$\frac{\pi^4}{4} = \frac{\pi^4}{4} + \cos(\pi) + C$$ $$\frac{\pi^4}{4} = \frac{\pi^4}{4} - 1 + C$$ Отсюда $C = 1$. Получаем: $F(x) = \frac{x^4}{4} + \cos x + 1$. Вроде бы все понятно. Если что, спрашивай!