Привет! Давай разберём задачи из контрольной работы.
**№1 Сравнение чисел**
1. $\frac{4}{9}$ и $-0,(45)$
Чтобы сравнить эти числа, нужно привести их к одному виду. Переведём обыкновенную дробь в десятичную: $\frac{4}{9} = 0,(44)$. Теперь сравним $0,(44)$ и $-0,(45)$. Так как положительное число всегда больше отрицательного, то $\frac{4}{9} > -0,(45)$.
2. $2,(78)$ и $2,7(8)$
$2,(78) = 2,787878...$, а $2,7(8) = 2,788888...$. Сравниваем по разрядам: целые части равны, десятые доли равны, сотые доли равны, а вот тысячные доли уже отличаются: в первом числе 7, а во втором 8. Значит, $2,7(8) > 2,(78)$.
3. $|\frac{5}{8}|$ и $|-0,(6)|$
Сначала избавимся от знаков модуля: $|\frac{5}{8}| = \frac{5}{8}$, $|-0,(6)| = 0,(6)$. Теперь переведём обыкновенную дробь в десятичную: $\frac{5}{8} = 0,625$. Осталось сравнить $0,625$ и $0,(6) = 0,666...$. Видим, что $0,(6) > 0,625$, значит, $|-0,(6)| > |\frac{5}{8}|$.
4. $6\frac{6}{7}$ и $6,(2)$
Переведём обыкновенную дробь в десятичную: $6\frac{6}{7} = 6,(857142)$. Сравним с $6,(2) = 6,222222...$. Сравниваем по разрядам: целые части равны, десятые доли: $8 > 2$. Значит, $6\frac{6}{7} > 6,(2)$.
**№2 Представь число в виде бесконечной десятичной дроби: $\frac{11}{9}$**
Чтобы представить обыкновенную дробь в виде десятичной, нужно разделить числитель на знаменатель: $\frac{11}{9} = 1,(2)$.
**№3 Представь бесконечную десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,(45)$**
Пусть $x = 0,(45)$. Тогда $100x = 45,(45)$. Вычтем из второго уравнения первое: $100x - x = 45,(45) - 0,(45)$, то есть $99x = 45$. Отсюда $x = \frac{45}{99} = \frac{5}{11}$.
**№4 На фабрике 64% всей продукции — детские игрушки. Известно, что количество остальной продукции составляет 1800 единиц. Сколько детских игрушек выпускает фабрика?**
Если 64% продукции — это игрушки, то остальная продукция составляет $100% - 64% = 36%$. Значит, 1800 единиц — это 36% от всей продукции. Чтобы найти, сколько всего продукции, составим пропорцию:
$\frac{1800}{x} = \frac{36}{100}$
Отсюда $x = \frac{1800 \cdot 100}{36} = 5000$ единиц. Теперь найдём, сколько из них игрушек: $5000 \cdot 0,64 = 3200$ единиц.
**№5 Поезд, двигаясь со скоростью 75 км/ч, проходит расстояние между городами за 4,8 часа. За какое время он преодолеет это же расстояние, если увеличит скорость до 90 км/ч?**
Сначала найдём расстояние между городами: $S = v \cdot t = 75 \cdot 4,8 = 360$ км. Теперь найдём время, за которое поезд проедет это же расстояние со скоростью 90 км/ч: $t = \frac{S}{v} = \frac{360}{90} = 4$ часа.
**№6 Три работника, работая вместе, могут выполнить заказ за 9 дней. Один работник, работая отдельно, может выполнить этот заказ за 36 дней. За сколько дней смогут выполнить заказ два других работника, работая вместе?**
Пусть $x$ — время, за которое первый работник выполняет заказ, $y$ и $z$ — время, за которое второй и третий работники выполняют заказ соответственно. Тогда:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{9}$
$\frac{1}{x} = \frac{1}{36}$
Подставим второе уравнение в первое:
$\frac{1}{36} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{9}$
$\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{9} - \frac{1}{36} = \frac{4 - 1}{36} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$
Значит, два других работника, работая вместе, выполнят заказ за 12 дней.
**Чтобы выполнить два заказа, им потребуется $12 \cdot 2 = 24$ дня.**
**№7 Инвестор вложил в банк 200 000 рублей на депозит под 20% годовых с ежегодным начислением процентов на вклад. Вычислите, какая сумма будет на счету через 2 года.**
Сумма на счету через год: $200000 + 200000 \cdot 0,2 = 200000 \cdot 1,2 = 240000$ рублей.
Сумма на счету через два года: $240000 + 240000 \cdot 0,2 = 240000 \cdot 1,2 = 288000$ рублей.
**№8* На завтрак Карлсон съел 40% торта, а Малыш съел 150 г. На обед Фрекен Бок съела 30% остатка и ещё 120 г, а Матильда съела оставшиеся 90 г крошек от торта. Какой массы был торт изначально?**
Пусть $x$ — масса торта изначально. Тогда Карлсон съел $0,4x$, а Малыш — 150 г. Остаток после завтрака: $x - 0,4x - 150 = 0,6x - 150$. Фрекен Бок съела $0,3(0,6x - 150) + 120 = 0,18x - 45 + 120 = 0,18x + 75$. Матильда съела 90 г. Составим уравнение:
$0,4x + 150 + 0,18x + 75 + 90 = x$
$0,58x + 315 = x$
$0,42x = 315$
$x = \frac{315}{0,42} = 750$ г.
Надеюсь, тебе всё понятно! Если что, спрашивай ещё.
