Реши задачу 59 а), б), 60 а), б), 61 а), б)

59. a) Давай упростим это выражение по шагам: $$ \left(\frac{2 a b}{a^{2}-b^{2}}+\frac{a-b}{2 a+2 b}\right) \cdot \frac{2 a}{a+b} $$ Сначала разложим знаменатели и упростим дроби в скобках: $$ \left(\frac{2 a b}{(a-b)(a+b)}+\frac{a-b}{2(a+b)}\right) \cdot \frac{2 a}{a+b} $$ Приведем дроби в скобках к общему знаменателю: $$ \left(\frac{2 \cdot 2 a b}{2(a-b)(a+b)}+\frac{(a-b)(a-b)}{2(a-b)(a+b)}\right) \cdot \frac{2 a}{a+b} $$ $$ \left(\frac{4 a b+(a-b)^{2}}{2(a-b)(a+b)}\right) \cdot \frac{2 a}{a+b} $$ Упростим числитель в скобках: $$ \left(\frac{4 a b+a^{2}-2 a b+b^{2}}{2(a-b)(a+b)}\right) \cdot \frac{2 a}{a+b} $$ $$ \left(\frac{a^{2}+2 a b+b^{2}}{2(a-b)(a+b)}\right) \cdot \frac{2 a}{a+b} $$ Заметим, что числитель это полный квадрат: $$ \left(\frac{(a+b)^{2}}{2(a-b)(a+b)}\right) \cdot \frac{2 a}{a+b} $$ Сократим $(a+b)$: $$ \frac{(a+b)}{2(a-b)} \cdot \frac{2 a}{a+b} $$ Сократим $(a+b)$ и 2: $$ \frac{a}{a-b} $$ **Ответ: $\frac{a}{a-b}$** 59. б) Сначала упростим дробь, разложив числитель на множители: $$ \frac{x^{3}-x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\frac{x(x^{2}-y^{2})}{x^{2}+y^{2}}=\frac{x(x-y)(x+y)}{x^{2}+y^{2}} $$ Теперь упростим все выражение: $$ \frac{x-y}{x^{2}+y^{2}} \cdot \frac{x(x-y)(x+y)}{(x-y)^{2}}=\frac{x(x+y)}{x^{2}+y^{2}} $$ **Ответ: $\frac{x(x+y)}{x^{2}+y^{2}}$** 60. a) Выразим $x$ через $y$ из первого уравнения: $x = y + 1$. Подставим это во второе уравнение: $$(y + 1)y = 240$$ $$y^2 + y - 240 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 1 + 960 = 961$$ $$y_1 = \frac{-1 + \sqrt{961}}{2} = \frac{-1 + 31}{2} = 15$$ $$y_2 = \frac{-1 - \sqrt{961}}{2} = \frac{-1 - 31}{2} = -16$$ Теперь найдем соответствующие значения $x$: $$x_1 = 15 + 1 = 16$$ $$x_2 = -16 + 1 = -15$$ **Ответ: (16, 15) и (-15, -16)** 60. б) Выразим $y$ через $x$ из второго уравнения: $y = 2x - 15$. Подставим это в первое уравнение: $$x^2 + (2x - 15)^2 = 65$$ $$x^2 + 4x^2 - 60x + 225 = 65$$ $$5x^2 - 60x + 160 = 0$$ $$x^2 - 12x + 32 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32 = 144 - 128 = 16$$ $$x_1 = \frac{12 + \sqrt{16}}{2} = \frac{12 + 4}{2} = 8$$ $$x_2 = \frac{12 - \sqrt{16}}{2} = \frac{12 - 4}{2} = 4$$ Теперь найдем соответствующие значения $y$: $$y_1 = 2 \cdot 8 - 15 = 16 - 15 = 1$$ $$y_2 = 2 \cdot 4 - 15 = 8 - 15 = -7$$ **Ответ: (8, 1) и (4, -7)** 61. а) Решим уравнение: $$ \frac{25}{x} = 2x - 5 $$ Умножим обе части на $x$: $$ 25 = 2x^2 - 5x $$ Преобразуем в квадратное уравнение: $$ 2x^2 - 5x - 25 = 0 $$ Найдем дискриминант: $$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-25) = 25 + 200 = 225 $$ Найдем корни: $$ x_1 = \frac{5 + \sqrt{225}}{4} = \frac{5 + 15}{4} = 5 $$ $$ x_2 = \frac{5 - \sqrt{225}}{4} = \frac{5 - 15}{4} = -\frac{5}{2} $$ Уравнение имеет два решения. **Ответ: 2** 61. б) Решим уравнение $x^3 = |x|$. Если $x \ge 0$, то уравнение имеет вид $x^3 = x$. Тогда $x^3 - x = 0$, $x(x^2 - 1) = 0$. Корни: $x = 0, x = 1, x = -1$. Если $x < 0$, то уравнение имеет вид $x^3 = -x$. Тогда $x^3 + x = 0$, $x(x^2 + 1) = 0$. Корень: $x = 0$. С учетом условия $x \ge 0$, получаем корни $x = 0$ и $x = 1$. С учетом условия $x < 0$, получаем корень $x = -1$. Таким образом, уравнение имеет три решения: -1, 0, 1. **Ответ: 3**