Мне нужно исследовать функцию f(x) = 2/x - x² на (−∞, 0)

Привет! Давай разберемся с этой задачкой вместе. Тебе нужно исследовать функцию $f(x) = \frac{2}{x} - x^2$ на интервале $(-\infty; 0)$. Это значит, что нужно выяснить, как ведет себя функция на этом промежутке: возрастает она или убывает. Чтобы это сделать, нам понадобится производная функции. Производная показывает скорость изменения функции в каждой точке. Если производная положительная, функция возрастает, а если отрицательная – убывает. 1. **Находим производную $f'(x)$:** * Производная $\frac{2}{x}$ это $-\frac{2}{x^2}$. * Производная $-x^2$ это $-2x$. * Получаем: $f'(x) = -\frac{2}{x^2} - 2x$. 2. **Определяем знаки производной на интервале $(-\infty; 0)$:** * Так как $x$ отрицательный на этом интервале, то $-2x$ будет положительным. * $-\frac{2}{x^2}$ всегда отрицательно, потому что $x^2$ всегда положительно. * Теперь нужно понять, что больше: $-\frac{2}{x^2}$ или $-2x$. Чтобы это понять, давай подумаем: если $x$ очень большой по модулю (например, $-100$), то $-\frac{2}{x^2}$ будет очень маленьким по модулю (близким к нулю), а $-2x$ будет большим положительным числом. Если $x$ близок к нулю (например, $-0.1$), то $-\frac{2}{x^2}$ будет большим отрицательным числом. 3. **Анализируем поведение функции:** * Если $x$ стремится к $-\infty$, то $f'(x)$ будет положительной (значит, функция возрастает). * Если $x$ стремится к $0$, то $f'(x)$ будет отрицательной (значит, функция убывает). Чтобы точно определить, где функция возрастает, а где убывает, нужно найти точку, где $f'(x) = 0$. Решим уравнение: $$-\frac{2}{x^2} - 2x = 0$$ Умножим обе части на $-x^2$ (помни, что $x \neq 0$): $$2 + 2x^3 = 0$$ $$x^3 = -1$$ $$x = -1$$ Получается, что на интервале $(-\infty; -1)$ производная положительная, и функция возрастает. А на интервале $(-1; 0)$ производная отрицательная, и функция убывает. **Ответ:** Функция $f(x) = \frac{2}{x} - x^2$ возрастает на интервале $(-\infty; -1)$ и убывает на интервале $(-1; 0)$.