Билет №1 1. Сформулируйте определение выпуклого многоугольника (периметр, диагональ).

### Билет №1 **1. Определения и теорема:** * **Выпуклый многоугольник** — это многоугольник, который лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону. * **Периметр** — сумма длин всех сторон многоугольника. * **Диагональ** — отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника. * **Теорема о сумме углов выпуклого n-угольника:** Сумма углов выпуклого n-угольника равна $(n - 2) \cdot 180^{\circ}$. **2. Свойства ромба (одно из основных):** * **Формулировка:** Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. * **Доказательство:** Пусть $ABCD$ — ромб. Стороны $AB=BC=CD=DA$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Рассмотрим $\triangle ABD$. Так как $AB=AD$, он равнобедренный. Диагональ $BD$ является биссектрисой угла $B$ (по свойству равнобедренного треугольника, медиана/биссектриса/высота совпадают), а значит $BD \perp AC$. **3. Тангенс угла $A$:** * Тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему: $\tan A = \frac{BC}{AC}$. * По рисунку (считаем клетки): $BC$ = 2 клетки, $AC$ = 5 клеток. * $\tan A = \frac{2}{5} = 0,4$. **Ответ: 0,4.** **4. Периметр треугольника ABE:** * Пусть $ABCD$ — параллелограмм, $P_{ABCD} = 60$ см, значит $2(AB + BC) = 60$, т.е. $AB + BC = 30$ см. * $AE$ — биссектриса угла $A$, тогда $\angle BAE = \angle EAD = \angle AEB$ (как накрест лежащие при $AD \parallel BC$). * Следовательно, $\triangle ABE$ — равнобедренный с основанием $AE$, где $AB = BE$. * Так как $E$ делит $BC$ пополам, то $BE = EC = \frac{1}{2}BC$. * Тогда $AB = \frac{1}{2}BC$, следовательно $BC = 2AB$. Подставим в сумму: $AB + 2AB = 30 \Rightarrow 3AB = 30 \Rightarrow AB = 10$ см. * Тогда $BE = 10$ см. Так как $\triangle ABE$ равнобедренный, то $AB=BE=10$ см. Нам дано $AE = 8$ см. * Периметр $\triangle ABE = AB + BE + AE = 10 + 10 + 8 = 28$ см. **Ответ: 28 см.**