Можешь доказать неравенства: 1) 2a² – 8a + 16 > 0?

Конечно, сейчас докажем эти неравенства! 1) $2a^2 - 8a + 16 > 0$ Разделим обе части на 2: $a^2 - 4a + 8 > 0$ Выделим полный квадрат: $(a - 2)^2 + 4 > 0$ Так как квадрат всегда неотрицателен, а $(a - 2)^2 + 4$ всегда больше 0, неравенство верно. 2) $4b^2 + 4b + 3 > 0$ Выделим полный квадрат: $(2b + 1)^2 + 2 > 0$ Квадрат всегда неотрицателен, значит, $(2b + 1)^2 + 2$ всегда больше 0, и неравенство верно. 3) $a^2 + ab + b^2 \geq 0$ Умножим обе части на 2: $2a^2 + 2ab + 2b^2 \geq 0$ Представим как сумму: $a^2 + a^2 + 2ab + b^2 + b^2 \geq 0$ $(a + b)^2 + a^2 + b^2 \geq 0$ Сумма квадратов всегда неотрицательна, поэтому неравенство верно. 4) $(3a + 2)(2a - 4) - (2a - 5)^2 > 3(4a - 12)$ Раскроем скобки: $6a^2 - 12a + 4a - 8 - (4a^2 - 20a + 25) > 12a - 36$ $6a^2 - 8a - 8 - 4a^2 + 20a - 25 > 12a - 36$ $2a^2 + 12a - 33 > 12a - 36$ $2a^2 + 3 > 0$ $2a^2 > -3$ $a^2 > -\frac{3}{2}$ Квадрат всегда неотрицателен, поэтому неравенство верно. 5) $a(a - 3) > 5(a - 4)$ Раскроем скобки: $a^2 - 3a > 5a - 20$ $a^2 - 8a + 20 > 0$ Выделим полный квадрат: $(a - 4)^2 + 4 > 0$ Квадрат всегда неотрицателен, значит, $(a - 4)^2 + 4$ всегда больше 0, и неравенство верно. 6) $(a - b)(a + 5b) \leq (2a + b)(a + 4b) + ab$ Раскроем скобки: $a^2 + 5ab - ab - 5b^2 \leq 2a^2 + 8ab + ab + 4b^2 + ab$ $a^2 + 4ab - 5b^2 \leq 2a^2 + 10ab + 4b^2$ $0 \leq a^2 + 6ab + 9b^2$ $0 \leq (a + 3b)^2$ Квадрат всегда неотрицателен, поэтому неравенство верно.