Ты просишь меня решить неравенство (x − 1)²(x + 2)³ / (x-5) ≥ 0

Привет! Давай решим это неравенство вместе. Вот шаги, которые нам понадобятся: 1. Найдем нули числителя и знаменателя. Это точки, где выражение может менять знак. 2. Отметим эти точки на числовой прямой. Важно помнить, что точки, где знаменатель равен нулю, нужно исключить (обычно их рисуют выколотыми). 3. Определим знаки выражения на каждом интервале между этими точками. Можно подставить любое число из интервала в неравенство и посмотреть, какой знак получится. 4. Выберем интервалы, где знак выражения соответствует знаку в неравенстве (больше или равно нулю в нашем случае). Теперь давай применим это к нашему неравенству: $$\frac{(x-1)^2(x+2)^3}{x-5} \ge 0$$ 1. **Нули числителя и знаменателя:** * Числитель: $(x-1)^2 = 0$ при $x = 1$ и $(x+2)^3 = 0$ при $x = -2$. * Знаменатель: $x-5 = 0$ при $x = 5$. 2. **Числовая прямая:** Отметим точки -2, 1 и 5 на числовой прямой. Точку 5 нужно исключить, так как знаменатель не может быть равен нулю. Точки -2 и 1 включаем, так как неравенство нестрогое ($\ge$). ----(-2)====(1)-----(5)----> X 3. **Определение знаков на интервалах:** * $x < -2$: Например, $x = -3$. Тогда $$\frac{((-3)-1)^2((-3)+2)^3}{(-3)-5} = \frac{(+)(-)}{(-)} = +$$ * $-2 < x < 1$: Например, $x = 0$. Тогда $$\frac{((0)-1)^2((0)+2)^3}{(0)-5} = \frac{(+)(+)}{(-)} = -$$ * $1 < x < 5$: Например, $x = 2$. Тогда $$\frac{((2)-1)^2((2)+2)^3}{(2)-5} = \frac{(+)(+)}{(-)} = -$$ * $x > 5$: Например, $x = 6$. Тогда $$\frac{((6)-1)^2((6)+2)^3}{(6)-5} = \frac{(+)(+)}{(+)} = +$$ 4. **Выбор интервалов:** Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это интервалы $x \le -2$ и $x > 5$. Также не забываем про точку $x = 1$, где числитель равен нулю, и неравенство выполняется. **Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup \{1\} \cup (5; +\infty)$**