Ты просишь доказать неравенство: (1+a)(1+1/a) ≥ 4, где a > 0

Question

Вопрос:

Ты просишь доказать неравенство: (1+a)(1+1/a) ≥ 4, где a > 0

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Привет! Сейчас докажем эти неравенства. 1) Нужно доказать, что $(1+a)(1+\frac{1}{a}) \ge 4$, где $a > 0$. Раскроем скобки: $$1 + \frac{1}{a} + a + 1 \ge 4$$ $$a + \frac{1}{a} + 2 \ge 4$$ $$a + \frac{1}{a} \ge 2$$ Умножим обе части на $a$ (так как $a > 0$, знак неравенства не меняется): $$a^2 + 1 \ge 2a$$ $$a^2 - 2a + 1 \ge 0$$ $$(a - 1)^2 \ge 0$$ Квадрат любого числа всегда больше или равен нулю. Значит, неравенство верно. 2) Теперь докажем, что $(a+b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \ge 4$, где $a > 0$ и $b > 0$. Раскроем скобки: $$1 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 1 \ge 4$$ $$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 2 \ge 4$$ $$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$$ Умножим обе части на $ab$ (так как $a > 0$ и $b > 0$, знак неравенства не меняется): $$a^2 + b^2 \ge 2ab$$ $$a^2 - 2ab + b^2 \ge 0$$ $$(a - b)^2 \ge 0$$ Квадрат любого числа всегда больше или равен нулю. Значит, неравенство верно.

Ты просишь доказать неравенство: (1+a)(1+1/a) ≥ 4, где a &gt; 0

Ответ ассистента

Другие решения

Ты просишь доказать неравенство: (1+a)(1+1/a) ≥ 4, где a > 0