Помоги мне вычислить пределы в заданиях 6-12

6) Давай посмотрим на этот предел. Если просто подставить $x = -\frac{2}{3}$ в выражение, то получится неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Чтобы её раскрыть, можно попробовать разложить числитель и знаменатель на множители и сократить общие. $3x^2 + 5x + 2 = (3x + 2)(x + 1)$ $3x^2 + 8x + 4 = (3x + 2)(x + 2)$ Тогда: $$\lim_{x \to -\frac{2}{3}} \frac{3x^2 + 5x + 2}{3x^2 + 8x + 4} = \lim_{x \to -\frac{2}{3}} \frac{(3x + 2)(x + 1)}{(3x + 2)(x + 2)} = \lim_{x \to -\frac{2}{3}} \frac{x + 1}{x + 2} = \frac{-\frac{2}{3} + 1}{-\frac{2}{3} + 2} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{3}} = \frac{1}{4}$$ **Ответ: $\frac{1}{4}$** 7) Здесь тоже, если подставить $x = 8$, получим неопределенность $\frac{0}{0}$. Попробуем преобразовать выражение, чтобы избавиться от этой неопределенности. Домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное к знаменателю: $\sqrt{x} + 2\sqrt{2}$. $$\lim_{x \to 8} \frac{\sqrt[3]{x} - 2}{\sqrt{x} - 2\sqrt{2}} = \lim_{x \to 8} \frac{(\sqrt[3]{x} - 2)(\sqrt{x} + 2\sqrt{2})}{(\sqrt{x} - 2\sqrt{2})(\sqrt{x} + 2\sqrt{2})} = \lim_{x \to 8} \frac{(\sqrt[3]{x} - 2)(\sqrt{x} + 2\sqrt{2})}{x - 8}$$ Теперь нужно избавиться от $(\sqrt[3]{x} - 2)$ в числителе. Домножим числитель и знаменатель на $(\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]{x} + 4)$. $$\lim_{x \to 8} \frac{(\sqrt[3]{x} - 2)(\sqrt{x} + 2\sqrt{2})}{x - 8} = \lim_{x \to 8} \frac{(\sqrt[3]{x} - 2)(\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]{x} + 4)(\sqrt{x} + 2\sqrt{2})}{(x - 8)(\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]{x} + 4)} = \lim_{x \to 8} \frac{(x - 8)(\sqrt{x} + 2\sqrt{2})}{(x - 8)(\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]{x} + 4)} = \lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{x} + 2\sqrt{2}}{\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]{x} + 4}$$ Теперь можно подставить $x = 8$: $$\frac{\sqrt{8} + 2\sqrt{2}}{\sqrt[3]{8^2} + 2\sqrt[3]{8} + 4} = \frac{2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}}{4 + 2 \cdot 2 + 4} = \frac{4\sqrt{2}}{12} = \frac{\sqrt{2}}{3}$$ **Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{3}$** 8) При $x \to 0$ выражение под пределом имеет вид $\frac{0}{0}$. Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{4+x} + \sqrt{4-x}$: $$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4+x} - \sqrt{4-x}}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{4+x} - \sqrt{4-x})(\sqrt{4+x} + \sqrt{4-x})}{2x(\sqrt{4+x} + \sqrt{4-x})} =$$ $$= \lim_{x \to 0} \frac{(4+x) - (4-x)}{2x(\sqrt{4+x} + \sqrt{4-x})} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{2x(\sqrt{4+x} + \sqrt{4-x})} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{4+x} + \sqrt{4-x}} = \frac{1}{\sqrt{4+0} + \sqrt{4-0}} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}$$ **Ответ: $\frac{1}{4}$** 9) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \sqrt{1 - x^2}}{x^2}$. При $x \to 0$ выражение под пределом имеет вид $\frac{0}{0}$. Чтобы раскрыть эту неопределённость, можно домножить числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $1 + \sqrt{1 - x^2}$: $$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \sqrt{1 - x^2}}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{(1 - \sqrt{1 - x^2})(1 + \sqrt{1 - x^2})}{x^2(1 + \sqrt{1 - x^2})} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - (1 - x^2)}{x^2(1 + \sqrt{1 - x^2})} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2(1 + \sqrt{1 - x^2})} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + \sqrt{1 - x^2}}$$ Теперь можно подставить $x = 0$: $$\frac{1}{1 + \sqrt{1 - 0^2}} = \frac{1}{1 + \sqrt{1}} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$$ **Ответ: $\frac{1}{2}$** 10) $\lim_{x \to \infty} \frac{5x^4 - x^3 + 2x}{x^4 - 8x^3 + 1}$. Чтобы найти этот предел, разделим числитель и знаменатель на $x^4$: $$\lim_{x \to \infty} \frac{5x^4 - x^3 + 2x}{x^4 - 8x^3 + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^3}}{1 - \frac{8}{x} + \frac{1}{x^4}}$$ Когда $x$ стремится к бесконечности, $\frac{1}{x}$, $\frac{2}{x^3}$, $\frac{8}{x}$ и $\frac{1}{x^4}$ стремятся к 0. Поэтому: $$\lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^3}}{1 - \frac{8}{x} + \frac{1}{x^4}} = \frac{5 - 0 + 0}{1 - 0 + 0} = \frac{5}{1} = 5$$ **Ответ: 5** 11) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 5x} - x)$. Чтобы найти этот предел, можно умножить и разделить выражение на сопряжённое: $$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 5x} - x) = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2 + 5x} - x)(\sqrt{x^2 + 5x} + x)}{\sqrt{x^2 + 5x} + x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 5x - x^2}{\sqrt{x^2 + 5x} + x} = \lim_{x \to \infty} \frac{5x}{\sqrt{x^2 + 5x} + x}$$ Разделим числитель и знаменатель на $x$: $$\lim_{x \to \infty} \frac{5x}{\sqrt{x^2 + 5x} + x} = \lim_{x \to \infty} \frac{5}{\sqrt{1 + \frac{5}{x}} + 1}$$ Когда $x$ стремится к бесконечности, $\frac{5}{x}$ стремится к 0. Поэтому: $$\lim_{x \to \infty} \frac{5}{\sqrt{1 + \frac{5}{x}} + 1} = \frac{5}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{5}{1 + 1} = \frac{5}{2}$$ **Ответ: $\frac{5}{2}$** 12) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{3}{x})^{-x}$. Этот предел похож на определение числа $e$. Вспомним, что $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$. Преобразуем наш предел: $$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{3}{x})^{-x} = \lim_{x \to \infty} \left( \left(1 + \frac{3}{x} \right)^{\frac{x}{3}} \right)^{-3}$$ Пусть $y = \frac{x}{3}$. Тогда $x = 3y$, и когда $x \to \infty$, $y \to \infty$. Значит, $$\lim_{x \to \infty} \left( \left(1 + \frac{3}{x} \right)^{\frac{x}{3}} \right)^{-3} = \lim_{y \to \infty} \left( \left(1 + \frac{1}{y} \right)^{y} \right)^{-3} = e^{-3} = \frac{1}{e^3}$$ **Ответ: $\frac{1}{e^3}$**