a) Давай упростим выражение $$\frac{2}{x^2 - 3x} - \frac{1}{x^2 + 3x} - \frac{x+1}{x^2-9}$$.
Сначала разложим знаменатели на множители:
$$\frac{2}{x(x - 3)} - \frac{1}{x(x + 3)} - \frac{x+1}{(x-3)(x+3)}$$
Теперь приведем все дроби к общему знаменателю $x(x - 3)(x + 3)$:
$$\frac{2(x + 3)}{x(x - 3)(x + 3)} - \frac{1(x - 3)}{x(x + 3)(x - 3)} - \frac{(x+1)x}{(x-3)(x+3)x}$$
Раскроем скобки в числителях:
$$\frac{2x + 6}{x(x - 3)(x + 3)} - \frac{x - 3}{x(x + 3)(x - 3)} - \frac{x^2+x}{x(x-3)(x+3)}$$
Объединим дроби:
$$\frac{(2x + 6) - (x - 3) - (x^2 + x)}{x(x - 3)(x + 3)}$$
Раскроем скобки и упростим числитель:
$$\frac{2x + 6 - x + 3 - x^2 - x}{x(x - 3)(x + 3)} = \frac{-x^2 + 9}{x(x - 3)(x + 3)}$$
Заметим, что $-x^2 + 9 = -(x^2 - 9) = -(x - 3)(x + 3)$. Тогда:
$$\frac{-(x - 3)(x + 3)}{x(x - 3)(x + 3)}$$
Сократим $(x - 3)(x + 3)$:
$$\frac{-1}{x}$$
**Ответ: $$-\frac{1}{x}$$**
б) Давай упростим выражение $$\frac{2y + 1}{y^2 + 3y} + \frac{y + 2}{3y - y^2} - \frac{1}{y}$$.
Разложим знаменатели на множители:
$$\frac{2y + 1}{y(y + 3)} + \frac{y + 2}{y(3 - y)} - \frac{1}{y}$$
Заметим, что $y(3 - y) = -y(y - 3)$. Изменим знак у второй дроби:
$$\frac{2y + 1}{y(y + 3)} - \frac{y + 2}{y(y - 3)} - \frac{1}{y}$$
Приведем все дроби к общему знаменателю $y(y + 3)(y - 3)$:
$$\frac{(2y + 1)(y - 3)}{y(y + 3)(y - 3)} - \frac{(y + 2)(y + 3)}{y(y - 3)(y + 3)} - \frac{(y + 3)(y - 3)}{y(y)(y + 3)(y - 3)}$$
Раскроем скобки в числителях:
$$\frac{2y^2 - 6y + y - 3}{y(y + 3)(y - 3)} - \frac{y^2 + 3y + 2y + 6}{y(y - 3)(y + 3)} - \frac{y^2 - 9}{y(y)(y + 3)(y - 3)}$$
Упростим числители:
$$\frac{2y^2 - 5y - 3}{y(y + 3)(y - 3)} - \frac{y^2 + 5y + 6}{y(y - 3)(y + 3)} - \frac{y^2 - 9}{y(y)(y + 3)(y - 3)}$$
Объединим дроби:
$$\frac{(2y^2 - 5y - 3) - (y^2 + 5y + 6) - (y^2 - 9)}{y(y + 3)(y - 3)}$$
Раскроем скобки и упростим числитель:
$$\frac{2y^2 - 5y - 3 - y^2 - 5y - 6 - y^2 + 9}{y(y + 3)(y - 3)} = \frac{-10y}{y(y + 3)(y - 3)}$$
Сократим $y$:
$$\frac{-10}{(y + 3)(y - 3)} = \frac{-10}{y^2 - 9}$$
**Ответ: $$-\frac{10}{y^2 - 9}$$**
в) Давай упростим выражение $$\frac{a^2 + 16a + 12}{a^3 - 8} - \frac{2 - 3a}{a^2 + 2a + 4} - \frac{3}{a - 2}$$.
Заметим, что $a^3 - 8 = (a - 2)(a^2 + 2a + 4)$. Приведем все дроби к общему знаменателю $(a - 2)(a^2 + 2a + 4)$:
$$\frac{a^2 + 16a + 12}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)} - \frac{(2 - 3a)(a - 2)}{(a^2 + 2a + 4)(a - 2)} - \frac{3(a^2 + 2a + 4)}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)}$$
Раскроем скобки в числителях:
$$\frac{a^2 + 16a + 12}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)} - \frac{2a - 4 - 3a^2 + 6a}{(a^2 + 2a + 4)(a - 2)} - \frac{3a^2 + 6a + 12}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)}$$
Упростим числители:
$$\frac{a^2 + 16a + 12}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)} - \frac{-3a^2 + 8a - 4}{(a^2 + 2a + 4)(a - 2)} - \frac{3a^2 + 6a + 12}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)}$$
Объединим дроби:
$$\frac{(a^2 + 16a + 12) - (-3a^2 + 8a - 4) - (3a^2 + 6a + 12)}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)}$$
Раскроем скобки и упростим числитель:
$$\frac{a^2 + 16a + 12 + 3a^2 - 8a + 4 - 3a^2 - 6a - 12}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)} = \frac{a^2 + 2a + 4}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)}$$
Сократим $a^2 + 2a + 4$:
$$\frac{1}{a - 2}$$
**Ответ: $$\frac{1}{a - 2}$$**
г) Давай упростим выражение $$\frac{2}{4b^2 - 6b + 9} + \frac{4b^2 + 18}{8b^3 + 27} - \frac{1}{2b + 3}$$.
Заметим, что $8b^3 + 27 = (2b)^3 + 3^3 = (2b + 3)(4b^2 - 6b + 9)$. Приведем все дроби к общему знаменателю $(2b + 3)(4b^2 - 6b + 9)$:
$$\frac{2(2b + 3)}{(4b^2 - 6b + 9)(2b + 3)} + \frac{4b^2 + 18}{(2b + 3)(4b^2 - 6b + 9)} - \frac{1(4b^2 - 6b + 9)}{(2b + 3)(4b^2 - 6b + 9)}$$
Раскроем скобки в числителях:
$$\frac{4b + 6}{(4b^2 - 6b + 9)(2b + 3)} + \frac{4b^2 + 18}{(2b + 3)(4b^2 - 6b + 9)} - \frac{4b^2 - 6b + 9}{(2b + 3)(4b^2 - 6b + 9)}$$
Объединим дроби:
$$\frac{(4b + 6) + (4b^2 + 18) - (4b^2 - 6b + 9)}{(2b + 3)(4b^2 - 6b + 9)}$$
Раскроем скобки и упростим числитель:
$$\frac{4b + 6 + 4b^2 + 18 - 4b^2 + 6b - 9}{(2b + 3)(4b^2 - 6b + 9)} = \frac{10b + 15}{(2b + 3)(4b^2 - 6b + 9)}$$
Вынесем 5 в числителе:
$$\frac{5(2b + 3)}{(2b + 3)(4b^2 - 6b + 9)}$$
Сократим $2b + 3$:
$$\frac{5}{4b^2 - 6b + 9}$$
**Ответ: $$\frac{5}{4b^2 - 6b + 9}$$**
