Объясни, как доказать, что четырехугольник A1B1C1D1, вершинами которого являются середины отрезков OA, OB, OC и OD, — параллелограмм.

Конечно, помогу разобраться с этой задачей по геометрии! Давай докажем, что четырёхугольник $A_1B_1C_1D_1$ - параллелограмм. 1. **Что дано:** * $ABCD$ - параллелограмм. * $O$ - точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. * $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ - середины отрезков $OA$, $OB$, $OC$, $OD$ соответственно. 2. **Что нужно доказать:** * $A_1B_1C_1D_1$ - параллелограмм. 3. **Доказательство:** * Так как $ABCD$ - параллелограмм, то его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Это значит, что $OA = OC$ и $OB = OD$. * По условию, $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ - середины отрезков $OA$, $OB$, $OC$, $OD$ соответственно. Следовательно: * $OA_1 = \frac{1}{2} OA$ * $OB_1 = \frac{1}{2} OB$ * $OC_1 = \frac{1}{2} OC$ * $OD_1 = \frac{1}{2} OD$ * Из равенств $OA = OC$ и $OB = OD$ следует, что $OA_1 = OC_1$ и $OB_1 = OD_1$. * Рассмотрим треугольники $AOB$ и $COD$. $A_1B_1$ - средняя линия треугольника $AOB$, а $C_1D_1$ - средняя линия треугольника $COD$. Средняя линия треугольника параллельна его основанию и равна половине этого основания. Значит: * $A_1B_1 \parallel AB$ и $A_1B_1 = \frac{1}{2} AB$ * $C_1D_1 \parallel CD$ и $C_1D_1 = \frac{1}{2} CD$ * Так как $ABCD$ - параллелограмм, то $AB \parallel CD$ и $AB = CD$. Следовательно, $A_1B_1 \parallel C_1D_1$ и $A_1B_1 = C_1D_1$. * Аналогично, рассмотрим треугольники $BOC$ и $DOA$. $B_1C_1$ - средняя линия треугольника $BOC$, а $D_1A_1$ - средняя линия треугольника $DOA$. Значит: * $B_1C_1 \parallel BC$ и $B_1C_1 = \frac{1}{2} BC$ * $D_1A_1 \parallel AD$ и $D_1A_1 = \frac{1}{2} AD$ * Так как $ABCD$ - параллелограмм, то $BC \parallel AD$ и $BC = AD$. Следовательно, $B_1C_1 \parallel D_1A_1$ и $B_1C_1 = D_1A_1$. * Итак, в четырёхугольнике $A_1B_1C_1D_1$ противоположные стороны попарно параллельны и равны. Значит, $A_1B_1C_1D_1$ - параллелограмм. 4. **Вывод:** * Четырёхугольник $A_1B_1C_1D_1$, вершинами которого являются середины отрезков $OA$, $OB$, $OC$ и $OD$, является параллелограммом. Что и требовалось доказать.