Мне нужно доказать тригонометрическое тождество tg(3π/2 + α)tg(5π – α) + sin(α – 2π)cos(3π/2 – α) + cos²(π/2 – α) = 1

Question

Вопрос:

Мне нужно доказать тригонометрическое тождество tg(3π/2 + α)tg(5π – α) + sin(α – 2π)cos(3π/2 – α) + cos²(π/2 – α) = 1

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Привет! Давай упростим это выражение, используя тригонометрические формулы приведения и основные тождества. Вот как это можно сделать: 1. $\tan(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cot(\alpha)$ (по формуле приведения). 2. $\tan(5\pi - \alpha) = -\tan(\alpha)$ (так как период тангенса равен $\pi$). 3. $\sin(\alpha - 2\pi) = \sin(\alpha)$ (так как период синуса равен $2\pi$). 4. $\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin(\alpha)$ (по формуле приведения). 5. $\cos^2(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin^2(\alpha)$ (по формуле приведения). Теперь подставим это в исходное выражение: $$- \cot(\alpha) \cdot (-\tan(\alpha)) + \sin(\alpha) \cdot(-\sin(\alpha)) + \sin^2(\alpha) = 1$$ Упростим дальше: $$\cot(\alpha) \cdot \tan(\alpha) - \sin^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$$ Так как $\cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)}$, то $\cot(\alpha) \cdot \tan(\alpha) = 1$. Остается: $$1 - \sin^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$$ $$1 = 1$$ Выражение верно при любых значениях $\alpha$, при которых определены тангенс и котангенс. То есть, при $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$ и $\alpha \neq \pi n$, где $n$ - целое число. Получается, что исходное выражение действительно равно 1 при указанных условиях. Круто, правда?

Мне нужно доказать тригонометрическое тождество tg(3π/2 + α)tg(5π – α) + sin(α – 2π)cos(3π/2 – α) + cos²(π/2 – α) = 1

Ответ ассистента

Другие решения