Предложи упростить алгебраическое выражение (a-3)/(a²-3a+9) - (6a-18)/(a³+27) : (5a-15)/(4a³+108)

Конечно, давай упростим это выражение вместе! Сначала запишем исходное выражение: $$\left(\frac{a-3}{a^2-3a+9} - \frac{6a-18}{a^3+27}\right) : \frac{5a-15}{4a^3+108}$$ Обрати внимание, что $a^3 + 27$ можно разложить как сумму кубов: $a^3 + 3^3 = (a+3)(a^2 - 3a + 9)$. Также, $6a - 18$ можно упростить, вынеся 6 за скобки: $6(a - 3)$. А ещё, $4a^3 + 108$ можно представить как $4(a^3 + 27)$. И $5a-15$ как $5(a-3)$. Теперь перепишем выражение с учётом этих упрощений: $$\left(\frac{a-3}{a^2-3a+9} - \frac{6(a-3)}{(a+3)(a^2-3a+9)}\right) : \frac{5(a-3)}{4(a^3+27)}$$ Чтобы вычесть дроби в скобках, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель здесь $(a+3)(a^2-3a+9)$. Приведём первую дробь к этому знаменателю: $$\frac{(a-3)(a+3)}{(a+3)(a^2-3a+9)} - \frac{6(a-3)}{(a+3)(a^2-3a+9)}$$ Теперь вычтем дроби: $$\frac{(a-3)(a+3) - 6(a-3)}{(a+3)(a^2-3a+9)}$$ Раскроем скобки и упростим числитель: $$\frac{a^2 - 9 - 6a + 18}{(a+3)(a^2-3a+9)} = \frac{a^2 - 6a + 9}{(a+3)(a^2-3a+9)}$$ Заметим, что $a^2 - 6a + 9$ это полный квадрат: $(a-3)^2$. Так что упрощаем: $$\frac{(a-3)^2}{(a+3)(a^2-3a+9)}$$ Теперь вернёмся к исходному выражению и заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь: $$\frac{(a-3)^2}{(a+3)(a^2-3a+9)} \cdot \frac{4(a^3+27)}{5(a-3)}$$ Заменим $a^3+27$ на $(a+3)(a^2-3a+9)$: $$\frac{(a-3)^2}{(a+3)(a^2-3a+9)} \cdot \frac{4(a+3)(a^2-3a+9)}{5(a-3)}$$ Теперь сократим всё, что можно: $$\frac{(a-3)}{(1)} \cdot \frac{4}{5}$$ Остаётся только: $$\frac{4(a-3)}{5}$$ **Ответ: $\frac{4(a-3)}{5}$**