Помоги доказать по индукции, что для любого натурального n выполняется равенство 1 + 2 + 3 + ... + n = (n + 1)n / 2

Привет! Сейчас помогу тебе с доказательством по индукции. а) Нам нужно доказать, что $1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$ для любого натурального $n$. * **База индукции:** Проверим для $n = 1$. Тогда $1 = \frac{1(1+1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$. Равенство выполняется. * **Индукционный переход:** Предположим, что равенство верно для некоторого $n = k$, то есть $1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{k(k+1)}{2}$. Нам нужно доказать, что оно верно и для $n = k+1$, то есть $1 + 2 + 3 + ... + (k+1) = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$. Используем индукционное предположение: $$1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1)$$ Приведем к общему знаменателю: $$= \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$$ Получили требуемое равенство. Значит, утверждение верно для $n = k+1$. * **Вывод:** На основании принципа математической индукции, равенство $1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$ верно для всех натуральных $n$. б) Теперь докажем, что $2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n+1)$ для любого натурального $n$. * **База индукции:** Проверим для $n = 1$. Тогда $2 = 1(1+1) = 2$. Равенство выполняется. * **Индукционный переход:** Предположим, что равенство верно для некоторого $n = k$, то есть $2 + 4 + 6 + ... + 2k = k(k+1)$. Нам нужно доказать, что оно верно и для $n = k+1$, то есть $2 + 4 + 6 + ... + 2(k+1) = (k+1)(k+2)$. Используем индукционное предположение: $$2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k+1) = k(k+1) + 2(k+1)$$ Вынесем $(k+1)$ за скобки: $$= (k+1)(k+2)$$ Получили требуемое равенство. Значит, утверждение верно для $n = k+1$. * **Вывод:** На основании принципа математической индукции, равенство $2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n+1)$ верно для всех натуральных $n$. Надеюсь, теперь тебе стало понятнее!