Объясни, как доказать, что при любом значении переменной значение дроби положительно, отрицательно или неположительно, и при каком значении a принимает наибольшее значение дробь.

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями. **18.** а) Дробь $\frac{3}{x^2 + 1}$ всегда положительна. Смотри, $x^2$ всегда больше или равен нулю, потому что квадрат любого числа (даже отрицательного) — это положительное число или ноль. Значит, $x^2 + 1$ всегда больше нуля. А если мы делим 3 (положительное число) на что-то положительное, то и результат будет положительным. б) Дробь $\frac{-5}{y^2 + 4}$ всегда отрицательна. Опять же, $y^2$ всегда больше или равен нулю, поэтому $y^2 + 4$ всегда больше нуля. Но у нас в числителе стоит $-5$ (отрицательное число). Когда мы делим отрицательное число на положительное, результат всегда отрицательный. в) Дробь $\frac{(a-1)^2}{a^2 + 10}$ неотрицательна. Здесь $(a-1)^2$ — это квадрат, а квадрат всегда больше или равен нулю. $a^2 + 10$ тоже всегда больше нуля, потому что квадрат плюс положительное число всегда положительны. Значит, мы делим неотрицательное число на положительное, и результат будет неотрицательным. г) Дробь $\frac{(b-3)^2}{-b^2 - 1}$ неположительна. В числителе у нас квадрат $(b-3)^2$, который всегда больше или равен нулю. А в знаменателе $-b^2 - 1$ всегда отрицательное число, потому что $-b^2$ всегда меньше или равно нулю, и если отнять ещё 1, то получится отрицательное число. Делим неотрицательное число на отрицательное, и результат будет неположительным (то есть отрицательным или нулём). **19.** а) Дробь $\frac{4}{a^2 + 5}$ принимает наибольшее значение, когда её знаменатель $a^2 + 5$ наименьший. Так как $a^2$ всегда больше или равно нулю, то наименьшее значение $a^2$ это 0. Значит, при $a = 0$ знаменатель будет наименьшим, и дробь примет наибольшее значение. б) Дробь $\frac{10}{(a-3)^2 + 1}$ принимает наибольшее значение, когда её знаменатель $(a-3)^2 + 1$ наименьший. Так как $(a-3)^2$ всегда больше или равно нулю, то наименьшее значение $(a-3)^2$ это 0. Это произойдет, когда $a = 3$. Значит, при $a = 3$ знаменатель будет наименьшим, и дробь примет наибольшее значение.