Помоги привести дроби к общему знаменателю: 1) 4/(15x²y²) и 1/(10x³y)

Конечно, сейчас помогу разобраться! Чтобы привести дроби к общему знаменателю, нужно найти наименьший общий знаменатель (НОЗ) для всех дробей в примере. Потом каждую дробь нужно умножить на такой множитель, чтобы её знаменатель стал равен НОЗ. Давай посмотрим на первый пример: 1) $\frac{4}{15x^2y^2}$ и $\frac{1}{10x^3y}$ * Находим НОЗ для чисел: 15 и 10. Это число 30. * Находим НОЗ для переменных: $x^2$ и $x^3$. Это будет $x^3$ (берем переменную с наибольшей степенью). * Находим НОЗ для переменных: $y^2$ и $y$. Это будет $y^2$ (берем переменную с наибольшей степенью). Общий знаменатель будет $30x^3y^2$. Теперь каждую дробь приводим к этому знаменателю: * Для первой дроби: $\frac{4}{15x^2y^2} = \frac{4 \cdot 2x}{15x^2y^2 \cdot 2x} = \frac{8x}{30x^3y^2}$ * Для второй дроби: $\frac{1}{10x^3y} = \frac{1 \cdot 3y}{10x^3y \cdot 3y} = \frac{3y}{30x^3y^2}$ Получается: $\frac{8x}{30x^3y^2}$ и $\frac{3y}{30x^3y^2}$ Теперь знаменатели у дробей одинаковые! Давай также сделаем и остальные. 2) $\frac{c}{6a^4b^5}$ и $\frac{d}{9ab^2}$ * НОЗ для чисел: 6 и 9. Это число 18. * НОЗ для переменных: $a^4$ и $a$. Это будет $a^4$. * НОЗ для переменных: $b^5$ и $b^2$. Это будет $b^5$. Общий знаменатель: $18a^4b^5$ Приводим дроби к общему знаменателю: * Первая дробь: $\frac{c}{6a^4b^5} = \frac{c \cdot 3}{6a^4b^5 \cdot 3} = \frac{3c}{18a^4b^5}$ * Вторая дробь: $\frac{d}{9ab^2} = \frac{d \cdot 2a^3b^3}{9ab^2 \cdot 2a^3b^3} = \frac{2da^3b^3}{18a^4b^5}$ Получаем: $\frac{3c}{18a^4b^5}$ и $\frac{2da^3b^3}{18a^4b^5}$ 3) $\frac{x}{y-5}$ и $\frac{z}{y^2-25}$ * Заметим, что $y^2 - 25$ это разность квадратов, её можно разложить на $(y - 5)(y + 5)$. * Значит, общий знаменатель будет $(y - 5)(y + 5)$. Приводим дроби к общему знаменателю: * Первая дробь: $\frac{x}{y-5} = \frac{x \cdot (y+5)}{(y-5) \cdot (y+5)} = \frac{x(y+5)}{(y-5)(y+5)}$ * Вторая дробь: $\frac{z}{y^2-25} = \frac{z}{(y-5)(y+5)}$ (здесь ничего менять не нужно). Получаем: $\frac{x(y+5)}{(y-5)(y+5)}$ и $\frac{z}{(y-5)(y+5)}$ 4) $\frac{m+n}{m^2-mn}$ и $\frac{2m-3n}{m^2-n^2}$ * Разложим знаменатели на множители: * $m^2 - mn = m(m - n)$ * $m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$ (разность квадратов). * Общий знаменатель будет $m(m - n)(m + n)$. Приводим дроби к общему знаменателю: * Первая дробь: $\frac{m+n}{m(m-n)} = \frac{(m+n) \cdot (m+n)}{m(m-n) \cdot (m+n)} = \frac{(m+n)^2}{m(m-n)(m+n)}$ * Вторая дробь: $\frac{2m-3n}{(m-n)(m+n)} = \frac{(2m-3n) \cdot m}{(m-n)(m+n) \cdot m} = \frac{m(2m-3n)}{m(m-n)(m+n)}$ Получаем: $\frac{(m+n)^2}{m(m-n)(m+n)}$ и $\frac{m(2m-3n)}{m(m-n)(m+n)}$ 5) $\frac{x+1}{x^2-xy}$ и $\frac{y-1}{xy-y^2}$ * Разложим знаменатели на множители: * $x^2 - xy = x(x - y)$ * $xy - y^2 = y(x - y)$ * Общий знаменатель будет $xy(x - y)$. Приводим дроби к общему знаменателю: * Первая дробь: $\frac{x+1}{x(x-y)} = \frac{(x+1) \cdot y}{x(x-y) \cdot y} = \frac{y(x+1)}{xy(x-y)}$ * Вторая дробь: $\frac{y-1}{y(x-y)} = \frac{(y-1) \cdot x}{y(x-y) \cdot x} = \frac{x(y-1)}{xy(x-y)}$ Получаем: $\frac{y(x+1)}{xy(x-y)}$ и $\frac{x(y-1)}{xy(x-y)}$ 6) $\frac{6a}{a-2b}$ и $\frac{3a}{a+b}$ * Здесь знаменатели разные и не раскладываются на множители, поэтому общий знаменатель будет просто их произведением: $(a - 2b)(a + b)$. Приводим дроби к общему знаменателю: * Первая дробь: $\frac{6a}{a-2b} = \frac{6a \cdot (a+b)}{(a-2b) \cdot (a+b)} = \frac{6a(a+b)}{(a-2b)(a+b)}$ * Вторая дробь: $\frac{3a}{a+b} = \frac{3a \cdot (a-2b)}{(a+b) \cdot (a-2b)} = \frac{3a(a-2b)}{(a-2b)(a+b)}$ Получаем: $\frac{6a(a+b)}{(a-2b)(a+b)}$ и $\frac{3a(a-2b)}{(a-2b)(a+b)}$ 7) $\frac{1+c^2}{c^2-16}$ и $\frac{c}{4-c}$ * Заметим, что $c^2 - 16$ это разность квадратов, её можно разложить на $(c - 4)(c + 4)$. * Еще заметим, что $(4 - c) = -(c - 4)$. * Тогда общий знаменатель будет $(c - 4)(c + 4)$. Приводим дроби к общему знаменателю: * Первая дробь: $\frac{1+c^2}{(c-4)(c+4)}$ (здесь ничего менять не нужно). * Вторая дробь: $\frac{c}{4-c} = \frac{c \cdot (-1)}{(4-c) \cdot (-1)} = \frac{-c}{c-4} = \frac{-c \cdot (c+4)}{(c-4) \cdot (c+4)} = \frac{-c(c+4)}{(c-4)(c+4)}$ Получаем: $\frac{1+c^2}{(c-4)(c+4)}$ и $\frac{-c(c+4)}{(c-4)(c+4)}$ 8) $\frac{2m+9}{m^2+5m+25}$ и $\frac{m}{m-5}$ * Здесь знаменатель первой дроби не раскладывается на множители (это неполный квадрат). * Значит, общий знаменатель будет $(m^2 + 5m + 25)(m - 5)$. Приводим дроби к общему знаменателю: * Первая дробь: $\frac{2m+9}{m^2+5m+25} = \frac{(2m+9) \cdot (m-5)}{(m^2+5m+25) \cdot (m-5)} = \frac{(2m+9)(m-5)}{(m^2+5m+25)(m-5)}$ * Вторая дробь: $\frac{m}{m-5} = \frac{m \cdot (m^2+5m+25)}{(m-5) \cdot (m^2+5m+25)} = \frac{m(m^2+5m+25)}{(m^2+5m+25)(m-5)}$ Получаем: $\frac{(2m+9)(m-5)}{(m^2+5m+25)(m-5)}$ и $\frac{m(m^2+5m+25)}{(m^2+5m+25)(m-5)}$