Реши неравенство 2/х - 3/(х-4) < 5/2

Чтобы решить неравенство $\frac{2}{x} - \frac{3}{x-4} < \frac{5}{2}$, давай сначала перенесём все члены в левую часть: $$\frac{2}{x} - \frac{3}{x-4} - \frac{5}{2} < 0$$ Теперь приведём всё к общему знаменателю, который будет равен $2x(x-4)$: $$\frac{2 \cdot 2(x-4) - 3 \cdot 2x - 5x(x-4)}{2x(x-4)} < 0$$ $$\frac{4(x-4) - 6x - 5x^2 + 20x}{2x(x-4)} < 0$$ $$\frac{4x - 16 - 6x - 5x^2 + 20x}{2x(x-4)} < 0$$ $$\frac{-5x^2 + 18x - 16}{2x(x-4)} < 0$$ Умножим обе части на -1, чтобы изменить знак у $x^2$ (и не забудем изменить знак неравенства): $$\frac{5x^2 - 18x + 16}{2x(x-4)} > 0$$ Найдём корни квадратного трёхчлена $5x^2 - 18x + 16$. Для этого решим уравнение $5x^2 - 18x + 16 = 0$. Дискриминант равен: $$D = (-18)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 16 = 324 - 320 = 4$$ Корни: $$x_1 = \frac{18 + \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{18 + 2}{10} = \frac{20}{10} = 2$$ $$x_2 = \frac{18 - \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{18 - 2}{10} = \frac{16}{10} = 1.6$$ Теперь мы можем переписать неравенство в виде: $$\frac{5(x - 2)(x - 1.6)}{2x(x-4)} > 0$$ $$\frac{(x - 2)(x - 1.6)}{x(x-4)} > 0$$ Отметим на числовой прямой точки, где выражение меняет знак: $0, 1.6, 2, 4$. ----(0)----(1.6)----(2)----(4)----> Теперь определим знаки на каждом интервале. Берём значения больше 4, например 5, и подставляем в неравенство. Получается плюс. Дальше знаки чередуются, так как все корни простые. Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля: $x \in (-\infty; 0) \cup (1.6; 2) \cup (4; +\infty)$ **Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (1.6; 2) \cup (4; +\infty)$**