Определи, являются ли лучи AB и AC дополнительными, если точки A, B и C расположены на прямой AB так, что AB = 3,2 см, AC = 4,8 см, BC = 8 см.

68. Давай проверим, являются ли лучи $AB$ и $AC$ дополнительными. Дополнительные лучи — это лучи, которые исходят из одной точки и лежат на одной прямой, образуя развёрнутый угол (180 градусов). Чтобы проверить, являются ли лучи $AB$ и $AC$ дополнительными, нужно узнать, лежат ли точки $A$, $B$ и $C$ на одной прямой и в каком порядке. По условию, точки $A$, $B$ и $C$ лежат на прямой $AB$. Также известно, что $AB = 3,2$ см, $AC = 4,8$ см и $BC = 8$ см. Если точки расположены в порядке $A-B-C$, то $AC = AB + BC$. Подставим значения: $4,8 = 3,2 + 8$ – это неверно. Если точки расположены в порядке $A-C-B$, то $AB = AC + CB$. Подставим значения: $3,2 = 4,8 + 8$ – это тоже неверно. Если точки расположены в порядке $B-A-C$, то $BC = BA + AC$. Подставим значения: $8 = 3,2 + 4,8$ – это верно! Значит, точки расположены в порядке $B-A-C$, и лучи $AB$ и $AC$ не являются дополнительными, потому что они не исходят из одной точки (в данном случае из точки $A$). **Ответ: лучи $AB$ и $AC$ не являются дополнительными.** 69. Угол $ABC$ прямой, значит, $\angle ABC = 90^\circ$. Так как $\angle ABE = \angle EBF = \angle FBC$, то $\angle ABE = \angle EBF = \angle FBC = 90^\circ : 3 = 30^\circ$. $BD$ – биссектриса угла $ABE$, значит, $\angle ABD = \angle DBE = \angle ABE : 2 = 30^\circ : 2 = 15^\circ$. $BK$ – биссектриса угла $FBC$, значит, $\angle FBK = \angle KBC = \angle FBC : 2 = 30^\circ : 2 = 15^\circ$. Тогда угол $DBK = \angle DBE + \angle EBF + \angle FBK = 15^\circ + 30^\circ + 15^\circ = 60^\circ$. **Ответ: угол $DBK$ равен $60^\circ$.** 70. Так как $\angle AOC = \angle COD = \angle DOF$, то обозначим их как $x$. Луч $OB$ – биссектриса угла $AOC$, значит, $\angle AOB = \angle BOC = x/2$. Луч $OE$ – биссектриса угла $DOF$, значит, $\angle DOE = \angle EOF = x/2$. Известно, что $\angle BOE = 72^\circ$. Угол $BOE$ состоит из углов $\angle BOC + \angle COD + \angle DOE$, то есть $x/2 + x + x/2 = 72^\circ$. Это можно упростить до $2x = 72^\circ$, следовательно, $x = 36^\circ$. Теперь найдём угол $AOF$. Он состоит из углов $\angle AOC + \angle COD + \angle DOF$, то есть $3x$. Так как $x = 36^\circ$, то $\angle AOF = 3 \cdot 36^\circ = 108^\circ$. **Ответ: угол $AOF$ равен $108^\circ$.**