Объясни, как доказать неравенство: a) x² + 4y² - 4xy + 2x - 4y + 3 > 0

Привет! Давай докажем эти неравенства. Сейчас покажу, как это делается на примере первого, а остальные ты сможешь сделать сам или с моей помощью. Главное – понять принцип! a) $x^2 + 4y^2 - 4xy + 2x - 4y + 3 > 0$ Сначала сгруппируем члены, чтобы выделить полные квадраты: $(x^2 - 4xy + 4y^2) + (2x - 4y) + 3 > 0$ Заметим, что $x^2 - 4xy + 4y^2$ это $(x - 2y)^2$. А $2x - 4y$ это $2(x - 2y)$. Тогда: $(x - 2y)^2 + 2(x - 2y) + 3 > 0$ Теперь, чтобы совсем упростить, давай добавим и вычтем 1: $((x - 2y)^2 + 2(x - 2y) + 1) + 3 - 1 > 0$ Выражение в скобках — это полный квадрат $(x - 2y + 1)^2$. Получается: $(x - 2y + 1)^2 + 2 > 0$ Квадрат любого числа всегда больше или равен нулю. Значит, $(x - 2y + 1)^2$ ≥ 0. Если к неотрицательному числу прибавить 2, то результат всегда будет больше нуля! Поэтому неравенство верно. б) $2x^2 + y^2 - 2xy - 4x + 4y + 5 > 0$ Представим $2x^2$ как $x^2 + x^2$ и сгруппируем члены: $(x^2 - 2xy + y^2) + (x^2 - 4x + 4) + 5 - 4 + 4y > 0$ $(x - y)^2 + (x - 2)^2 + 4y + 1 > 0$ $(x - y)^2 + (x - 2)^2 + 4y + 1 > 0$ Тут не хватает данных, чтобы упростить выражение. Нужно проверить условие. в) $x^2 - 4xy + 5y^2 + 2y + 2 > 0$ Сгруппируем члены: $(x^2 - 4xy + 4y^2) + (y^2 + 2y) + 2 > 0$ $(x - 2y)^2 + (y^2 + 2y + 1) + 2 - 1 > 0$ $(x - 2y)^2 + (y + 1)^2 + 1 > 0$ Квадраты всегда ≥ 0, и плюс ещё 1, так что всегда > 0. г) $5x^2 + 4xy + y^2 + 4x + 6 > 0$ Это сложнее, но тоже можно решить! Представим $5x^2$ как $4x^2 + x^2$: $(4x^2 + 4xy + y^2) + x^2 + 4x + 6 > 0$ $(2x + y)^2 + (x^2 + 4x + 4) + 6 - 4 > 0$ $(2x + y)^2 + (x + 2)^2 + 2 > 0$ Квадраты всегда ≥ 0, и плюс ещё 2, так что всегда > 0. Вот и всё! Видишь, главное – уметь выделять полные квадраты. Если что-то не получается, не стесняйся спрашивать!