3 log_{(x^2-5x+8)^3} (x^2-7x+12) ≤ log_{x^2-5x+8} (3x^2-7x+4)

Для решения неравенства $3 \log_{(x^2-5x+8)^3} (x^2-7x+12) \le \log_{x^2-5x+8} (3x^2-7x+4)$ выполним следующие шаги: 1. **ОДЗ**: Основание логарифма: $x^2-5x+8 > 0$ и $x^2-5x+8 \neq 1$. $x^2-5x+8$: дискриминант $D = 25 - 32 = -7 < 0$, значит выражение всегда положительно. $x^2-5x+8 \neq 1 \Rightarrow x^2-5x+7 \neq 0$. Корней нет ($D = 25 - 28 = -3 < 0$), основание не равно 1 при любых $x$. Аргументы: $x^2-7x+12 > 0 \Rightarrow (x-3)(x-4) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty, 3) \cup (4, \infty)$. $3x^2-7x+4 > 0 \Rightarrow (3x-4)(x-1) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty, 1) \cup (4/3, \infty)$. Пересечение ОДЗ: $x \in (-\infty, 1) \cup (4/3, 3) \cup (4, \infty)$. 2. **Преобразование**: Используем формулу перехода к новому основанию: $\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$. Левая часть: $3 \cdot \frac{1}{3} \log_{x^2-5x+8} (x^2-7x+12) = \log_{x^2-5x+8} (x^2-7x+12)$. Неравенство принимает вид: $\log_{x^2-5x+8} (x^2-7x+12) \le \log_{x^2-5x+8} (3x^2-7x+4)$. 3. **Решение**: Так как $x^2-5x+8 = (x-2.5)^2 + 1.75$, основание всегда больше 1 ($x^2-5x+8 \ge 1.75 > 1$). Поэтому знак неравенства сохраняется: $x^2-7x+12 \le 3x^2-7x+4$ $2x^2 \ge 8$ $x^2 \ge 4 \Rightarrow x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$. 4. **Пересечение с ОДЗ**: $x \in (-\infty, 1) \cup (4/3, 3) \cup (4, \infty)$ и $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$. Пересечение: $(-\infty, -2] \cup [2, 3) \cup (4, \infty)$. **Ответ:** $x \in (-\infty, -2] \cup [2, 3) \cup (4, \infty)$.