5^{2\sqrt{x}} + 5 < 5^{\sqrt{x}+1} + 5^{\sqrt{x}}

Для решения неравенства выполним замену переменной. Обозначим $t = 5^{\sqrt{x}}$, где $t > 0$ (так как показательная функция всегда положительна). Заметим, что $5^{2\sqrt{x}} = (5^{\sqrt{x}})^2 = t^2$, а $5^{\sqrt{x}+1} = 5^{\sqrt{x}} \cdot 5 = 5t$. Перепишем неравенство: $t^2 + 5 < 5t + t$ $t^2 - 6t + 5 < 0$ Разложим квадратный трехчлен на множители, найдя корни уравнения $t^2 - 6t + 5 = 0$: По теореме Виета: $t_1 = 1, t_2 = 5$. $(t - 1)(t - 5) < 0$ Решением данного неравенства является интервал: $1 < t < 5$ Вернемся к замене $t = 5^{\sqrt{x}}$: $1 < 5^{\sqrt{x}} < 5$ $5^0 < 5^{\sqrt{x}} < 5^1$ Так как основание степени $5 > 1$, знаки неравенства сохраняются: $0 < \sqrt{x} < 1$ Возведем все части в квадрат (учитывая, что $x \ge 0$ по условию): $0 < x < 1$ **Ответ: (0; 1)**