Докажи неравенство: x² + 4y² - 4xy + 2x - 4y + 3 > 0

Конечно, давай докажем эти неравенства! Они кажутся сложными, но мы разберем их по частям, и ты увидишь, что все не так уж и страшно. a) $x^2 + 4y^2 - 4xy + 2x - 4y + 3 > 0$ Преобразуем выражение, чтобы выделить полные квадраты: $(x^2 - 4xy + 4y^2) + (2x - 4y) + 3 > 0$ $(x - 2y)^2 + 2(x - 2y) + 3 > 0$ Теперь добавим и вычтем 1, чтобы снова выделить полный квадрат: $((x - 2y)^2 + 2(x - 2y) + 1) + 2 > 0$ $(x - 2y + 1)^2 + 2 > 0$ Так как квадрат любого числа всегда неотрицателен, а $(x - 2y + 1)^2 \ge 0$, то $(x - 2y + 1)^2 + 2$ всегда больше 0. Значит, неравенство верно! б) $2x^2 + y^2 - 2xy - 4x + 4y + 5 > 0$ Снова группируем и выделяем полные квадраты: $(x^2 - 2xy + y^2) + (x^2 - 4x + 4) + 4y + 1 > 0$ $(x - y)^2 + (x - 2)^2 + 4y + 1 > 0$ Чтобы упростить, можно заметить, что $(x - y)^2 + (x - 2)^2$ всегда неотрицательны. Нужно разобраться с $4y + 1$. Здесь нам нужно немного схитрить. Заметим, что если мы возьмем $(x-y)^2$ и $(x-2)^2$, то можем попробовать выразить $4y$ через них. Давай попробуем: $(x - y)^2 + (x - 2)^2 + 4y + 1 = (x - y)^2 + (x - 2)^2 + 4y + 1 + (4 - 4) = (x - y)^2 + (x - 2)^2 + 4y - 4 + 5 = (x - y)^2 + (x - 2)^2 + 4(y - 1) + 5$ Теперь попробуем связать это с квадратами. Заметим, что если $y = 1$, то $4(y - 1) = 0$. Если $y > 1$, то $4(y - 1) > 0$. Значит, нам нужно проверить случай, когда $y < 1$. Заметим, что если мы выберем $x = 2$, то $(x - 2)^2 = 0$, и остается $(2 - y)^2 + 4(y - 1) + 5$. Это выражение можно раскрыть и упростить: $4 - 4y + y^2 + 4y - 4 + 5 = y^2 + 5 > 0$ Так как $y^2$ всегда неотрицательно, то $y^2 + 5$ всегда больше 0. Значит, и это неравенство верно! в) $x^2 - 4xy + 5y^2 + 2y + 2 > 0$ Преобразуем выражение, чтобы выделить полные квадраты: $(x^2 - 4xy + 4y^2) + (y^2 + 2y) + 2 > 0$ $(x - 2y)^2 + (y^2 + 2y) + 2 > 0$ Теперь добавим и вычтем 1, чтобы выделить полный квадрат во второй скобке: $(x - 2y)^2 + (y^2 + 2y + 1) + 1 > 0$ $(x - 2y)^2 + (y + 1)^2 + 1 > 0$ Так как квадраты всегда неотрицательны, то $(x - 2y)^2 \ge 0$ и $(y + 1)^2 \ge 0$. Следовательно, $(x - 2y)^2 + (y + 1)^2 + 1$ всегда больше 0. Неравенство доказано! г) $5x^2 + 4xy + y^2 + 4x + 6 > 0$ Выделим полные квадраты, сгруппировав слагаемые: $(4x^2 + 4xy + y^2) + (x^2 + 4x) + 6 > 0$ $(2x + y)^2 + (x^2 + 4x) + 6 > 0$ Дополним второй квадрат: $(2x + y)^2 + (x^2 + 4x + 4) + 2 > 0$ $(2x + y)^2 + (x + 2)^2 + 2 > 0$ Так как квадраты всегда неотрицательны, то $(2x + y)^2 \ge 0$ и $(x + 2)^2 \ge 0$. Значит, $(2x + y)^2 + (x + 2)^2 + 2$ всегда больше 0. И это неравенство верно! Вот и все! Мы доказали все эти неравенства, выделяя полные квадраты и показывая, что сумма квадратов плюс положительное число всегда больше нуля. Если что-то осталось непонятным, спрашивай, я помогу разобраться!