Можешь ли ты помочь мне, используя выделение квадрата двучлена, доказать неравенства: a) x² - 6x + 15 > 0

Конечно, давай разберёмся с этими неравенствами! Нужно доказать их, используя выделение полного квадрата. Это как собирать пазл, чтобы увидеть, что получается в итоге. а) $x^2 - 6x + 15 > 0$ Чтобы выделить полный квадрат, нам нужно вспомнить формулу $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Смотри, у нас уже есть $x^2 - 6x$. Чтобы это стало полным квадратом, нужно добавить кое-что: $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$ Но у нас в неравенстве $x^2 - 6x + 15$, значит, мы можем записать так: $x^2 - 6x + 15 = (x^2 - 6x + 9) + 6 = (x - 3)^2 + 6$ Теперь наше неравенство выглядит так: $(x - 3)^2 + 6 > 0$ $(x - 3)^2$ всегда больше или равно нулю, потому что это квадрат. А если к нему прибавить 6, то это точно будет больше нуля! Так что неравенство верно для любого $x$. б) $a^2 - 8a + 19 > 0$ Тут делаем так же. Сначала выделим полный квадрат: $a^2 - 8a + 16 = (a - 4)^2$ Теперь посмотрим, что у нас есть: $a^2 - 8a + 19 = (a^2 - 8a + 16) + 3 = (a - 4)^2 + 3$ Значит, наше неравенство: $(a - 4)^2 + 3 > 0$ Квадрат $(a - 4)^2$ всегда больше или равен нулю, и если к нему прибавить 3, то это всегда будет больше нуля! Неравенство доказано. в) $y^2 > 4y - 5$ Перенесём всё в одну сторону, чтобы получить что-то похожее на предыдущие примеры: $y^2 - 4y + 5 > 0$ Выделим полный квадрат: $y^2 - 4y + 4 = (y - 2)^2$ Теперь наше выражение: $y^2 - 4y + 5 = (y^2 - 4y + 4) + 1 = (y - 2)^2 + 1$ Неравенство: $(y - 2)^2 + 1 > 0$ Снова квадрат $(y - 2)^2$ всегда больше или равен нулю, и если прибавить 1, то точно будет больше нуля. Готово! г) $8b - 18 < b^2$ Перенесём всё в одну сторону: $b^2 - 8b + 18 > 0$ Выделим полный квадрат: $b^2 - 8b + 16 = (b - 4)^2$ Теперь посмотрим на наше выражение: $b^2 - 8b + 18 = (b^2 - 8b + 16) + 2 = (b - 4)^2 + 2$ Неравенство: $(b - 4)^2 + 2 > 0$ $(b - 4)^2$ всегда больше или равно нулю, и если к нему прибавить 2, то это точно больше нуля! И последнее неравенство доказано. В каждом из этих случаев мы выделили полный квадрат и показали, что к нему прибавляется положительное число. А значит, всё выражение всегда больше нуля. Вот и всё!