В треугольнике BEF биссектрисы EE₁ и FF₁ пересекаются в точке O, ∠EOF=120°. Найди угол B.

1. Рассмотрим треугольник $EOF$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Значит, $\angle OEF + \angle OFE + \angle EOF = 180^\circ$. Из условия $\angle EOF = 120^\circ$, следовательно, $\angle OEF + \angle OFE = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Так как $EE_1$ и $FF_1$ - биссектрисы, то $\angle BEF = 2 \cdot \angle OEF$ и $\angle BFE = 2 \cdot \angle OFE$. Отсюда $\angle BEF + \angle BFE = 2 \cdot (\angle OEF + \angle OFE) = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$. Тогда $\angle B = 180^\circ - (\angle BEF + \angle BFE) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. **Ответ: 60°** 2. **Допущение:** трапеция $DEFK$ - прямоугольная, $KD$ и $EF$ - основания, $EK$ - биссектриса угла $K$, $FK = 10$, $DE = 6$. Нужно найти среднюю линию трапеции. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть $\frac{KD+EF}{2}$. Рассмотрим треугольник $DEK$. Угол $D$ равен $90^\circ$. Тогда $EK = \sqrt{DE^2 + KD^2}$. Подставим известные значения и выразим $KD$: $EK^2 = DE^2 + KD^2 \implies KD^2 = EK^2 - DE^2 \implies KD = \sqrt{EK^2 - DE^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$. Угол $K$ разделен биссектрисой $EK$, значит, угол $DKE$ равен углу $EKF$. Но угол $DEK$ равен углу $EKF$ как накрест лежащий, то есть углы $DKE$ и $DEK$ равны. Значит, треугольник $DKE$ равнобедренный, и $DE = KD = 6$. Тогда средняя линия равна $\frac{6+10}{2} = \frac{16}{2} = 8$. **Ответ: 8** 3. **Допущение:** В треугольнике $AML$ точка $O$ принадлежит стороне $AL$, $\angle AMO = \angle MLA$, $AL = 10$, $AM = 7$. Нужно найти отношение периметров треугольников $AML$ и $AOM$. $\frac{P_{AML}}{P_{AOM}} = ?$ Т.к. $\angle AMO = \angle MLA$ => $\triangle AMO \sim \triangle AML $ (по двум углам). $\frac{P_{AML}}{P_{AOM}} = \frac{AL}{AM} = \frac{AM}{AO} = \frac{ML}{MO}$ $\frac{P_{AML}}{P_{AOM}} = \frac{AL}{AM} = \frac{10}{7}$ **Ответ: $\frac{10}{7}$** 4. **Допущение:** В параллелограмме $AEDK$ $EK=8$, $KD = 6$, $\angle EKD=30^\circ$. Нужно найти площадь треугольника $AED$. Площадь параллелограмма $AEDK$ равна $AE \cdot EK \cdot sin(\angle AEK)$. Т.к. $\angle EKD=30^\circ$, то $\angle AEK = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$. Тогда $sin(\angle AEK) = sin(150^\circ) = \frac{1}{2}$. $S_{AEDK} = 8 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 24$. Площадь треугольника $AED$ равна половине площади параллелограмма, то есть $S_{AED} = \frac{1}{2} S_{AEDK} = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$. **Ответ: 12** 5. **Допущение:** Диагонали ромба равны 16 и 12. Нужно найти высоту ромба. Пусть диагонали ромба $d_1 = 16$ и $d_2 = 12$. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12 = 96$. Сторона ромба равна $a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{(\frac{16}{2})^2 + (\frac{12}{2})^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$. Высота ромба равна $h = \frac{S}{a} = \frac{96}{10} = 9.6$. **Ответ: 9.6** 6. **Допущение:** В прямоугольном треугольнике $PMQ$ $\angle P=90^\circ$, $PF \perp MQ$, $MF=4$, $FQ = 9$. Нужно найти $PF$. $\triangle PMQ$ - прямоугольный, $PF$ - высота, тогда $PF^2 = MF \cdot FQ$. $PF = \sqrt{MF \cdot FQ} = \sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6$. **Ответ: 6** 7. **Допущение:** Основание равнобедренного треугольника равно 10. Вписанная окружность касается боковых сторон в точках $M$ и $K$, $MK=8$. Нужно найти периметр треугольника. **Недостаточно данных для точного решения.** Нужно знать, что такое MK (основание, боковая сторона, высота и т.п.) 8. **Допущение:** Нужно найти меньшее основание и боковые стороны трапеции, вписанной в окружность радиуса 9 см, если большее основание трапеции проходит через центр окружности, а диагональ трапеции равна $6\sqrt{6}$ см. **Недостаточно данных для точного решения.** 9. **Допущение:** В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ отмечена точка $T$, на стороне $AC$ - точка $E$ и отрезок $AT$ пересекает $BE$ в точке $O$. Известно, что $\frac{BN}{NC} = \frac{2}{1}$, $\frac{AE}{EC} = \frac{2}{5}$, а площадь треугольника $AOE$ равна 2. Нужно найти площадь треугольника $ABC$. **Недостаточно данных для точного решения.** Не указано, что такое N.