Объясни, как найти координаты точек пересечения графика функции с осями координат и значение функции при заданных значениях x в упражнении 20.1.

Конечно, давай разберёмся с этими заданиями по порядку! **Задание 20.1** а) Чтобы найти координаты точек пересечения графика функции $y = -\frac{6}{7}x + 3$ с осями координат, нужно сделать следующее: * С осью $y$ (ординат): Подставляем $x = 0$ в уравнение и находим $y$: $$y = -\frac{6}{7}(0) + 3 = 3$$ Точка пересечения с осью $y$: $(0, 3)$. * С осью $x$ (абсцисс): Подставляем $y = 0$ в уравнение и находим $x$: $$0 = -\frac{6}{7}x + 3$$ $$\frac{6}{7}x = 3$$ $$x = 3 \cdot \frac{7}{6} = \frac{7}{2} = 3,5$$ Точка пересечения с осью $x$: $(3.5, 0)$. б) Чтобы найти значение функции при заданных значениях $x$, просто подставляем их в уравнение: * При $x = -3.5$: $$y = -\frac{6}{7}(-3.5) + 3 = 3 + 3 = 6$$ * При $x = 10.5$: $$y = -\frac{6}{7}(10.5) + 3 = -9 + 3 = -6$$ в) Чтобы найти значение аргумента (то есть $x$), при котором функция равна заданным значениям $y$, подставляем $y$ в уравнение и решаем относительно $x$: * При $y = 1$: $$1 = -\frac{6}{7}x + 3$$ $$\frac{6}{7}x = 2$$ $$x = 2 \cdot \frac{7}{6} = \frac{7}{3} \approx 2.33$$ * При $y = 12$: $$12 = -\frac{6}{7}x + 3$$ $$\frac{6}{7}x = -9$$ $$x = -9 \cdot \frac{7}{6} = -\frac{21}{2} = -10.5$$ г) Чтобы определить, есть ли на графике точки с целыми координатами, нужно посмотреть на уравнение $y = -\frac{6}{7}x + 3$. Если $x$ будет кратно 7, то есть $x = 7k$, где $k$ - целое число, тогда $y$ тоже будет целым числом: $$y = -\frac{6}{7}(7k) + 3 = -6k + 3$$ Так как $k$ может быть любым целым числом, таких точек бесконечно много. Например, если $k = 0$, то точка $(0, 3)$. Если $k = 1$, то точка $(7, -3)$. **Задание 20.2** а) Чтобы найти координаты точек пересечения графика функции $y = \frac{3}{4}x - 1$ с осями координат, действуем так же, как и в первом задании: * С осью $y$ (ординат): Подставляем $x = 0$ в уравнение и находим $y$: $$y = \frac{3}{4}(0) - 1 = -1$$ Точка пересечения с осью $y$: $(0, -1)$. * С осью $x$ (абсцисс): Подставляем $y = 0$ в уравнение и находим $x$: $$0 = \frac{3}{4}x - 1$$ $$\frac{3}{4}x = 1$$ $$x = 1 \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{3} \approx 1.33$$ Точка пересечения с осью $x$: $(\frac{4}{3}, 0)$. б) Чтобы найти значение функции при заданных значениях $x$, подставляем их в уравнение: * При $x = -4$: $$y = \frac{3}{4}(-4) - 1 = -3 - 1 = -4$$ * При $x = -6$: $$y = \frac{3}{4}(-6) - 1 = -\frac{9}{2} - 1 = -4.5 - 1 = -5.5$$ * При $x = 2$: $$y = \frac{3}{4}(2) - 1 = \frac{3}{2} - 1 = 1.5 - 1 = 0.5$$ * При $x = 8$: $$y = \frac{3}{4}(8) - 1 = 6 - 1 = 5$$ в) Чтобы найти значение аргумента (то есть $x$), при котором функция равна заданным значениям $y$, подставляем $y$ в уравнение и решаем относительно $x$: * При $y = 1$: $$1 = \frac{3}{4}x - 1$$ $$\frac{3}{4}x = 2$$ $$x = 2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{3} \approx 2.67$$ * При $y = 2$: $$2 = \frac{3}{4}x - 1$$ $$\frac{3}{4}x = 3$$ $$x = 3 \cdot \frac{4}{3} = 4$$ * При $y = 5$: $$5 = \frac{3}{4}x - 1$$ $$\frac{3}{4}x = 6$$ $$x = 6 \cdot \frac{4}{3} = 8$$ г) Чтобы определить, есть ли на графике точки с натуральными координатами, нужно посмотреть на уравнение $y = \frac{3}{4}x - 1$. Если $x$ будет таким, что $3x$ при делении на 4 даёт в остатке 4 (чтобы получилось целое число после вычитания 1), то $y$ тоже будет натуральным числом. Это произойдет, когда $x = 4k$, где $k$ - натуральное число: $$y = \frac{3}{4}(4k) - 1 = 3k - 1$$ Так как $k$ может быть любым натуральным числом, таких точек бесконечно много. Например, если $k = 1$, то точка $(4, 2)$. Если $k = 2$, то точка $(8, 5)$.