Вычисли значение выражения 16sin(α/2)sin(3α/2), если cosα = 3/4

Чтобы вычислить значение выражения $16\sin(\frac{\alpha}{2})\sin(\frac{3\alpha}{2})$, когда $\cos(\alpha) = \frac{3}{4}$, нужно использовать несколько тригонометрических формул. 1. Найдем $\sin(\frac{\alpha}{2})$ и $\sin(\frac{3\alpha}{2})$ через $\cos(\alpha)$. * Используем формулу $\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 - \cos(\alpha)}{2}$. * Так как $\cos(\alpha) = \frac{3}{4}$, то $\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 - \frac{3}{4}}{2} = \frac{\frac{1}{4}}{2} = \frac{1}{8}$. * Тогда $\sin(\frac{\alpha}{2}) = \pm\sqrt{\frac{1}{8}} = \pm\frac{1}{2\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{4}$. 2. Найдем $\sin(\frac{3\alpha}{2})$: * Используем формулу $\sin(\frac{3\alpha}{2}) = 3\sin(\frac{\alpha}{2}) - 4\sin^3(\frac{\alpha}{2})$. * Подставляем $\sin(\frac{\alpha}{2}) = \pm\frac{\sqrt{2}}{4}$: * $\sin(\frac{3\alpha}{2}) = 3(\pm\frac{\sqrt{2}}{4}) - 4(\pm\frac{\sqrt{2}}{4})^3 = \pm\frac{3\sqrt{2}}{4} - 4(\pm\frac{2\sqrt{2}}{64}) = \pm\frac{3\sqrt{2}}{4} \mp \frac{\sqrt{2}}{8} = \pm(\frac{6\sqrt{2}}{8} - \frac{\sqrt{2}}{8}) = \pm\frac{5\sqrt{2}}{8}$. 3. Вычислим $16\sin(\frac{\alpha}{2})\sin(\frac{3\alpha}{2})$: * $16\sin(\frac{\alpha}{2})\sin(\frac{3\alpha}{2}) = 16(\pm\frac{\sqrt{2}}{4})(\pm\frac{5\sqrt{2}}{8}) = 16(\frac{\sqrt{2}}{4})(\frac{5\sqrt{2}}{8}) = 16 \cdot \frac{10}{32} = 5$. **Ответ: 5**