Докажите равенство отрезков, соединяющих середину основания равнобедренного треугольника с серединами боковых сторон.

Привет! Давай решим задачи по геометрии из билетов 16, 17 и 18. ### Билет 16, задача 3 **Условие:** Докажите равенство отрезков, соединяющих середину основания равнобедренного треугольника с серединами боковых сторон. **Решение:** 1. Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ ($AB=BC$). Пусть $M$ — середина $AC$, $N$ — середина $AB$, $K$ — середина $BC$. 2. Нам нужно доказать, что $MN = MK$. 3. Рассмотрим треугольники $AMN$ и $CMK$. 4. $AM = MC$ (так как $M$ — середина основания). 5. $AN = BK$ (так как $N$ и $K$ — середины равных боковых сторон $AB$ и $BC$, значит, их половины равны). 6. $\angle A = \angle C$ (углы при основании равнобедренного треугольника). 7. Значит, треугольники $AMN$ и $CMK$ равны по первому признаку (две стороны и угол между ними). 8. Из равенства треугольников следует равенство сторон $MN = MK$. Что и требовалось доказать. ### Билет 17, задача 3 **Условие:** Известно, что $\angle OAM = \angle OAK$ и $\angle MBS = \angle KBS$. Докажите, что $AK = AM$, $BM = BK$. **Решение:** *Примечание:* Из чертежа видно, что точки $O, A, B, S$ лежат на одной прямой. 1. Рассмотрим $\triangle AMB$ и $\triangle AKB$. У них общая сторона $AB$. 2. $\angle MAB = 180^\circ - \angle OAM$ и $\angle KAB = 180^\circ - \angle OAK$. Так как $\angle OAM = \angle OAK$, то и $\angle MAB = \angle KAB$. 3. Аналогично, $\angle MBA = 180^\circ - \angle MBS$ и $\angle KBA = 180^\circ - \angle KBS$. Так как $\angle MBS = \angle KBS$, то $\angle MBA = \angle KBA$. 4. Треугольники $AMB$ и $AKB$ равны по второму признаку (сторона $AB$ и прилежащие к ней углы). 5. Из равенства треугольников следует, что $AM = AK$ и $BM = BK$. Что и требовалось доказать. ### Билет 18, задача 3 **Условие:** Отрезки $MN$ и $DK$ пересекаются в их общей середине $B$. Докажите равенство треугольников $MDB$ и $NKB$. **Решение:** 1. Рассмотрим $\triangle MDB$ и $\triangle NKB$. 2. $MB = BN$ (так как $B$ — середина $MN$). 3. $DB = BK$ (так как $B$ — середина $DK$). 4. $\angle MBD = \angle NBK$ (вертикальные углы при пересечении прямых $MN$ и $DK$). 5. Следовательно, треугольники равны по первому признаку (две стороны и угол между ними). Что и требовалось доказать.