Помоги решить примеры с алгебраическими дробями: а) $(\frac{x}{y^2} - \frac{1}{x}) : (\frac{1}{y} + \frac{1}{x})$

Привет! Давай решим эти примеры вместе. a) Давай упростим выражение $(\frac{x}{y^2} - \frac{1}{x}) : (\frac{1}{y} + \frac{1}{x})$. 1. Сначала упростим каждую скобку по отдельности: * В первой скобке приведем дроби к общему знаменателю $x y^2$: $$\frac{x}{y^2} - \frac{1}{x} = \frac{x \cdot x}{y^2 \cdot x} - \frac{1 \cdot y^2}{x \cdot y^2} = \frac{x^2 - y^2}{x y^2}$$ * Во второй скобке приведем дроби к общему знаменателю $x y$: $$\frac{1}{y} + \frac{1}{x} = \frac{1 \cdot x}{y \cdot x} + \frac{1 \cdot y}{x \cdot y} = \frac{x + y}{x y}$$ 2. Теперь разделим первую дробь на вторую. Деление - это умножение на перевернутую дробь: $$\frac{x^2 - y^2}{x y^2} : \frac{x + y}{x y} = \frac{x^2 - y^2}{x y^2} \cdot \frac{x y}{x + y}$$ 3. Разложим числитель первой дроби как разность квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. $$\frac{(x - y)(x + y)}{x y^2} \cdot \frac{x y}{x + y}$$ 4. Сократим $(x + y)$ и $(xy)$: $$\frac{(x - y)}{y}$$ **Ответ: $\frac{x-y}{y}$** б) Упростим выражение $(\frac{a}{b^2 - ab} + \frac{b}{a^2 - ab}) \cdot \frac{ab}{b - a}$. 1. Разложим знаменатели в скобках на множители: * $b^2 - ab = b(b - a)$ * $a^2 - ab = a(a - b) = -a(b - a)$ 2. Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $ab(b - a)$: $$\frac{a}{b(b - a)} + \frac{b}{-a(b - a)} = \frac{a \cdot a}{ab(b - a)} - \frac{b \cdot b}{ab(b - a)} = \frac{a^2 - b^2}{ab(b - a)}$$ 3. Разложим числитель как разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) = -(b - a)(a + b)$. $$\frac{-(b - a)(a + b)}{ab(b - a)}$$ 4. Сократим $(b - a)$: $$\frac{-(a + b)}{ab}$$ 5. Умножим на $\frac{ab}{b - a}$: $$\frac{-(a + b)}{ab} \cdot \frac{ab}{b - a} = \frac{-(a + b)}{b - a}$$ **Ответ: $\frac{-(a + b)}{b - a}$**