Можешь ли ты упростить выражение, разложить на множители, найти значения k и b, решить систему уравнений и решить уравнение?

Давай решим эти задания по порядку! 1. Упростить выражение $(4a + 3)^2 - (2a + 1)(4a – 3)$. Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и правило умножения многочлена на многочлен: $(4a + 3)^2 = (4a)^2 + 2 \cdot 4a \cdot 3 + 3^2 = 16a^2 + 24a + 9$ $(2a + 1)(4a - 3) = 2a \cdot 4a + 2a \cdot (-3) + 1 \cdot 4a + 1 \cdot (-3) = 8a^2 - 6a + 4a - 3 = 8a^2 - 2a - 3$ Теперь вычтем второй результат из первого: $(16a^2 + 24a + 9) - (8a^2 - 2a - 3) = 16a^2 + 24a + 9 - 8a^2 + 2a + 3 = 8a^2 + 26a + 12$ **Ответ: $8a^2 + 26a + 12$** 2. Разложить на множители: 1) $7a^2c^2 - 28b^2c^2$ Вынесем общий множитель $7c^2$ за скобки: $7c^2(a^2 - 4b^2)$ Теперь воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. В нашем случае $a^2 - 4b^2 = a^2 - (2b)^2$, значит: $7c^2(a - 2b)(a + 2b)$ **Ответ: $7c^2(a - 2b)(a + 2b)$** 2) $5a^2 - 30ab + 45b^2$ Вынесем общий множитель 5 за скобки: $5(a^2 - 6ab + 9b^2)$ Заметим, что в скобках у нас квадрат разности: $a^2 - 6ab + 9b^2 = (a - 3b)^2$ Тогда: $5(a - 3b)^2$ **Ответ: $5(a - 3b)^2$** 3. График функции $y = kx + b$ пересекает оси координат в точках $M(0; -12)$ и $K(-3; 0)$. Найдите значения $k$ и $b$. Раз $y = kx + b$ пересекает ось $y$ в точке $M(0; -12)$, то $b = -12$. Подставим координаты точки $K(-3; 0)$ в уравнение $y = kx - 12$: $0 = k \cdot (-3) - 12$ $3k = -12$ $k = -4$ **Ответ: $k = -4, b = -12$** 4. Решите систему уравнений $$\begin{cases} 7x - y = 10 \\ 5x + 2y = -1 \end{cases}$$ Выразим $y$ из первого уравнения: $y = 7x - 10$. Подставим это во второе уравнение: $5x + 2(7x - 10) = -1$ $5x + 14x - 20 = -1$ $19x = 19$ $x = 1$ Теперь найдем $y$: $y = 7 \cdot 1 - 10 = -3$ **Ответ: $x = 1, y = -3$** 5. Найдите четыре последовательных натуральных числа таких, что произведение четвёртого и третьего из этих чисел на 42 больше произведения первого и второго. Пусть первое число равно $n$, тогда четыре последовательных числа: $n, n+1, n+2, n+3$. По условию: $(n+2)(n+3) = n(n+1) + 42$ Раскроем скобки: $n^2 + 5n + 6 = n^2 + n + 42$ Перенесем все в одну сторону: $4n = 36$ $n = 9$ Тогда числа: 9, 10, 11, 12. **Ответ: 9, 10, 11, 12** 6. Решите уравнение $x^2 + y^2 – 8x + 2y + 17 = 0$. Сгруппируем члены с $x$ и $y$: $(x^2 - 8x) + (y^2 + 2y) + 17 = 0$ Выделим полные квадраты: $(x^2 - 8x + 16) + (y^2 + 2y + 1) + 17 - 16 - 1 = 0$ $(x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 0$ Сумма квадратов равна нулю, когда каждый из квадратов равен нулю: $x - 4 = 0$ и $y + 1 = 0$ $x = 4$ и $y = -1$ **Ответ: $x = 4, y = -1$**