Реши задачи по тригонометрии: найди значения синуса, косинуса, тангенса и построй углы

Давай решим эти задачи по порядку! 1100 a) Если $\cos \alpha = \frac{1}{2}$, то $\sin \alpha$ может быть найден с помощью основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Подставляем значение косинуса: $$\sin^2 \alpha + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1$$ $$\sin^2 \alpha + \frac{1}{4} = 1$$ $$\sin^2 \alpha = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$ $$\sin \alpha = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$$ б) Если $\cos \alpha = -\frac{2}{3}$, то $\sin \alpha$ можно найти аналогично: $$\sin^2 \alpha + \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = 1$$ $$\sin^2 \alpha + \frac{4}{9} = 1$$ $$\sin^2 \alpha = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$$ $$\sin \alpha = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$$ в) Если $\cos \alpha = -1$, то $\alpha = 180^\circ$ или $\pi$ радиан. В этом случае $\sin \alpha = 0$. 1101 a) Если $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то $\alpha = 60^\circ$ или $\frac{\pi}{3}$ радиан. Тогда $\cos \alpha = \frac{1}{2}$. б) Если $\sin \alpha = \frac{1}{4}$, то $\cos \alpha$ можно найти так: $$\cos^2 \alpha + \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1$$ $$\cos^2 \alpha + \frac{1}{16} = 1$$ $$\cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$$ $$\cos \alpha = \pm \frac{\sqrt{15}}{4}$$ в) Если $\sin \alpha = 0$, то $\alpha = 0^\circ$ или $\alpha = 180^\circ$. Тогда $\cos \alpha = \pm 1$. 1102 a) Если $\cos \alpha = 1$, то $\alpha = 0^\circ$, и $\tan \alpha = 0$. б) Если $\cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, то $\alpha = 150^\circ$, и $\tan \alpha = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. в) Если $\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, то $\alpha = 45^\circ$, и $\tan \alpha = 1$. г) Если $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ и $90^\circ < \alpha < 180^\circ$, то $\cos \alpha = -\frac{4}{5}$. Тогда $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}$. 1103 Вычислим значения синуса, косинуса и тангенса для угла $150^\circ$. $\sin 150^\circ = \sin (180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ $\cos 150^\circ = \cos (180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\tan 150^\circ = \frac{\sin 150^\circ}{\cos 150^\circ} = \frac{1/2}{-\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ 1104 a) Построим угол $A$, если $\sin A = \frac{2}{3}$. Чтобы построить угол $A$, можно воспользоваться калькулятором или таблицами, чтобы найти значение угла $A$ (примерно $41.8^\circ$). б) Если $\cos A = \frac{3}{4}$, угол $A$ будет примерно $41.4^\circ$. в) Если $\cos A = -\frac{2}{5}$, угол $A$ будет тупым (больше $90^\circ$) и примерно равен $113.6^\circ$. 1105 a) Если $OA = 3$ и $\alpha = 45^\circ$, координаты точки $A$ можно найти как: $x = OA \cdot \cos \alpha = 3 \cdot \cos 45^\circ = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 2.12$ $y = OA \cdot \sin \alpha = 3 \cdot \sin 45^\circ = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 2.12$ б) Если $OA = 1.5$ и $\alpha = 90^\circ$, то $x = 0$, $y = 1.5$. в) Если $OA = 5$ и $\alpha = 150^\circ$, то $x = OA \cdot \cos \alpha = 5 \cdot \cos 150^\circ = 5 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \approx -4.33$ $y = OA \cdot \sin \alpha = 5 \cdot \sin 150^\circ = 5 \cdot \frac{1}{2} = 2.5$ г) Если $OA = 1$ и $\alpha = 180^\circ$, то $x = -1$, $y = 0$.