Помоги мне найти значение выражений: a) $7^5 \cdot (7^2)^4 : 7^{11}$

- a) Сначала упростим выражение в скобках: $(7^2)^4 = 7^{2 \cdot 4} = 7^8$. Теперь всё выражение выглядит так: $7^5 \cdot 7^8 : 7^{11}$. При умножении степени складываются: $7^5 \cdot 7^8 = 7^{5+8} = 7^{13}$. И наконец, при делении степени вычитаются: $7^{13} : 7^{11} = 7^{13-11} = 7^2 = 49$. *Ответ: 49* - б) Тут тоже важен порядок действий. Сначала разберёмся с делением: $11^{-4} : 11^{13} = 11^{-4-13} = 11^{-17}$. Теперь у нас есть: $11^{-17} : 11^{17} = 11^{-17-17} = 11^{-34}$. *Ответ: $11^{-34}$* - в) Здесь у нас деление степеней с одинаковым основанием: $5^9 : 5^{-12} : 5^{20}$. Сначала выполним первое деление: $5^9 : 5^{-12} = 5^{9 - (-12)} = 5^{9+12} = 5^{21}$. Теперь второе деление: $5^{21} : 5^{20} = 5^{21-20} = 5^1 = 5$. *Ответ: 5* - г) Сначала упростим выражение в скобках: $(5^{-2})^{13} = 5^{-2 \cdot 13} = 5^{-26}$. Теперь у нас есть: $10 : 5^{-26} : 25^{14}$. Заменим $25$ на $5^2$, тогда $25^{14} = (5^2)^{14} = 5^{2 \cdot 14} = 5^{28}$. Теперь всё выражение выглядит так: $10 : 5^{-26} : 5^{28}$. Давай представим 10 как произведение 2 и 5: $2 \cdot 5 : 5^{-26} : 5^{28}$. Теперь делим: $2 \cdot 5 : 5^{-26} = 2 \cdot 5^{1 - (-26)} = 2 \cdot 5^{27}$. И ещё одно деление: $2 \cdot 5^{27} : 5^{28} = 2 \cdot 5^{27-28} = 2 \cdot 5^{-1} = \frac{2}{5} = 0.4$. *Ответ: 0.4* - д) Сначала упростим числитель: $15^5 \cdot 12^5 = (15 \cdot 12)^5 = 180^5$. Теперь упростим знаменатель: $3^3 \cdot 5^4 \cdot 3^6 \cdot 4^6 = 3^{3+6} \cdot 5^4 \cdot 4^6 = 3^9 \cdot 5^4 \cdot 4^6$. Заметим, что $4 = 2^2$, поэтому $4^6 = (2^2)^6 = 2^{12}$. Теперь знаменатель выглядит так: $3^9 \cdot 5^4 \cdot 2^{12}$. Давай посмотрим на всё выражение: $\frac{180^5}{3^9 \cdot 5^4 \cdot 2^{12}}$. Разложим 180 на простые множители: $180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$. Тогда $180^5 = (2^2 \cdot 3^2 \cdot 5)^5 = 2^{10} \cdot 3^{10} \cdot 5^5$. Теперь всё выражение: $\frac{2^{10} \cdot 3^{10} \cdot 5^5}{3^9 \cdot 5^4 \cdot 2^{12}} = 2^{10-12} \cdot 3^{10-9} \cdot 5^{5-4} = 2^{-2} \cdot 3^1 \cdot 5^1 = \frac{1}{4} \cdot 3 \cdot 5 = \frac{15}{4} = 3.75$. *Ответ: 3.75* - e) Сначала разберёмся с числителем: $10^{10} \cdot 17^6 \cdot 8^3$. Заменим $10$ на $2 \cdot 5$ и $8$ на $2^3$, тогда числитель: $(2 \cdot 5)^{10} \cdot 17^6 \cdot (2^3)^3 = 2^{10} \cdot 5^{10} \cdot 17^6 \cdot 2^9 = 2^{10+9} \cdot 5^{10} \cdot 17^6 = 2^{19} \cdot 5^{10} \cdot 17^6$. Теперь знаменатель: $2^8 \cdot 5^9 \cdot 34^7$. Заменим $34$ на $2 \cdot 17$, тогда знаменатель: $2^8 \cdot 5^9 \cdot (2 \cdot 17)^7 = 2^8 \cdot 5^9 \cdot 2^7 \cdot 17^7 = 2^{8+7} \cdot 5^9 \cdot 17^7 = 2^{15} \cdot 5^9 \cdot 17^7$. Теперь всё выражение: $\frac{2^{19} \cdot 5^{10} \cdot 17^6}{2^{15} \cdot 5^9 \cdot 17^7} = 2^{19-15} \cdot 5^{10-9} \cdot 17^{6-7} = 2^4 \cdot 5^1 \cdot 17^{-1} = 16 \cdot 5 \cdot \frac{1}{17} = \frac{80}{17} \approx 4.71$. *Ответ: $\frac{80}{17}$ или примерно 4.71*