1. Вычислить: 1) cos 765°; 2) sin 19π/6.

1. Вычисление: 1) $\cos 765^\circ = \cos (720^\circ + 45^\circ) = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 2) $\sin \frac{19\pi}{6} = \sin (3\pi + \frac{\pi}{6}) = \sin (2\pi + \pi + \frac{\pi}{6}) = \sin (\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}$ 2. Вычисление $\sin \alpha$: Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$: $\sin^2 \alpha = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$ $\sin \alpha = \pm \frac{12}{13}$ Так как $-6\pi < \alpha < -5\pi$ (это IV четверть, но по кругу соответствует интервалу между $-2\pi$ и $-\pi$ или II четверти, уточним: $-6\pi = -360^\circ \times 3$, $-5\pi = -360^\circ \times 2.5$. Это интервал от $-1080^\circ$ до $-900^\circ$. $-900^\circ = -720^\circ - 180^\circ$. Интервал соответствует второй четверти, где синус положителен). Ответ: $\sin \alpha = \frac{12}{13}$. 3. Упрощение выражений: 1) $\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta + \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta = 2 \sin \alpha \cos \beta$ 2) $\frac{\cos(\pi - \alpha) + \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)}{1 + 2 \cos(-\alpha) \sin(-\alpha)} = \frac{-\cos \alpha + \sin \alpha}{1 + 2 (\cos \alpha)(-\sin \alpha)} = \frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{1 - 2 \sin \alpha \cos \alpha} = \frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{(\sin \alpha - \cos \alpha)^2} = \frac{1}{\sin \alpha - \cos \alpha}$ 4. Решение уравнений: 1) $2 \cos \frac{x}{2} = 1 + \cos x$. Используем формулу понижения степени: $\cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2} - 1$. $2 \cos \frac{x}{2} = 1 + 2 \cos^2 \frac{x}{2} - 1$ $2 \cos \frac{x}{2} - 2 \cos^2 \frac{x}{2} = 0$ $2 \cos \frac{x}{2} (1 - \cos \frac{x}{2}) = 0$ $\cos \frac{x}{2} = 0 \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \pi + 2\pi n$ $\cos \frac{x}{2} = 1 \Rightarrow \frac{x}{2} = 2\pi n \Rightarrow x = 4\pi n$ 2) $\sin(\frac{\pi}{2} - 3x) \cos 2x - 1 = \sin 3x \cos(\frac{3\pi}{2} - 2x)$ $\cos 3x \cos 2x - 1 = \sin 3x (-\sin 2x)$ $\cos 3x \cos 2x + \sin 3x \sin 2x = 1$ $\cos(3x - 2x) = 1$ $\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi n$ 5. Доказательство тождества: $\cos 4\alpha + 1 = 2\cos^2 2\alpha$ $\frac{1}{2} \sin 4\alpha (\text{ctg } \alpha - \text{tg } \alpha) = \frac{1}{2} (2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha) (\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha})$ $= \sin 2\alpha \cos 2\alpha (\frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}) = \sin 2\alpha \cos 2\alpha (\frac{\cos 2\alpha}{\frac{1}{2} \sin 2\alpha})$ $= 2 \cos 2\alpha \cos 2\alpha = 2 \cos^2 2\alpha$ Тождество доказано.