Объясни, как решить задачи 1.171 - 1.177 на нахождение наибольшего общего делителя и взаимно простых чисел

Конечно, давай разберёмся с этими задачками! **1.171** Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) для каждой пары чисел, нужно разложить их на простые множители и выбрать общие. Или можно просто прикинуть, делится ли большее число на меньшее. * а) 21 и 84: 84 делится на 21, значит, **НОД = 21** * б) 27 и 81: 81 делится на 27, значит, **НОД = 27** * в) 32 и 96: 96 делится на 32, значит, **НОД = 32** * г) 75 и 300: 300 делится на 75, значит, **НОД = 75** **1.172** Тут нужно найти НОД для каждой пары чисел: * а) 324 и 432: Разложим на множители. $324 = 2^2 \cdot 3^4$, $432 = 2^4 \cdot 3^3$. Общие множители: $2^2$ и $3^3$. **НОД = $2^2 \cdot 3^3 = 4 \cdot 27 = 108$** * б) 225 и 275: $225 = 3^2 \cdot 5^2$, $275 = 5^2 \cdot 11$. Общий множитель: $5^2$. **НОД = 25** * в) 504 и 414: $504 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7$, $414 = 2 \cdot 3^2 \cdot 23$. Общие множители: $2$ и $3^2$. **НОД = $2 \cdot 9 = 18$** * г) 825 и 575: $825 = 3 \cdot 5^2 \cdot 11$, $575 = 5^2 \cdot 23$. Общий множитель: $5^2$. **НОД = 25** **1.173** Находим НОД для каждой группы чисел: * а) 45, 60 и 105: $45 = 3^2 \cdot 5$, $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$, $105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$. Общие множители: $3$ и $5$. **НОД = $3 \cdot 5 = 15$** * б) 324, 111 и 432: $324 = 2^2 \cdot 3^4$, $111 = 3 \cdot 37$, $432 = 2^4 \cdot 3^3$. Общий множитель: $3$. **НОД = 3** * в) 108, 72 и 96: $108 = 2^2 \cdot 3^3$, $72 = 2^3 \cdot 3^2$, $96 = 2^5 \cdot 3$. Общие множители: $2^2$ и $3$. **НОД = $2^2 \cdot 3 = 12$** * г) 320, 640 и 960: Заметим, что $640 = 320 \cdot 2$ и $960 = 320 \cdot 3$. Значит, **НОД = 320** **1.174** Определяем НОД для каждой группы чисел: * а) 35 и 39: $35 = 5 \cdot 7$, $39 = 3 \cdot 13$. Общих множителей нет. **НОД = 1** * б) 79 и 97: Оба числа простые. **НОД = 1** * в) 44, 21 и 5: $44 = 2^2 \cdot 11$, $21 = 3 \cdot 7$, $5 = 5$. Общих множителей нет. **НОД = 1** * г) 15, 26 и 77: $15 = 3 \cdot 5$, $26 = 2 \cdot 13$, $77 = 7 \cdot 11$. Общих множителей нет. **НОД = 1** **1.175** Взаимно простые числа - это те, у которых НОД равен 1. Проверим: * а) 35 и 40: $35 = 5 \cdot 7$, $40 = 2^3 \cdot 5$. Общий множитель: $5$. Не взаимно простые. * б) 77 и 20: $77 = 7 \cdot 11$, $20 = 2^2 \cdot 5$. Общих множителей нет. Взаимно простые. * в) 10, 30, 41: $10 = 2 \cdot 5$, $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$, $41 = 41$. Общих множителей нет. Взаимно простые. * г) 231 и 280: $231 = 3 \cdot 7 \cdot 11$, $280 = 2^3 \cdot 5 \cdot 7$. Общий множитель: $7$. Не взаимно простые. **1.176** Надо найти три пары взаимно простых чисел среди 9, 14, 15 и 27. * 9 и 14: $9 = 3^2$, $14 = 2 \cdot 7$. Взаимно простые. * 14 и 15: $14 = 2 \cdot 7$, $15 = 3 \cdot 5$. Взаимно простые. * 15 и 27: $15 = 3 \cdot 5$, $27 = 3^3$. Не взаимно простые. * 9 и 15: $9 = 3^2$, $15 = 3 \cdot 5$. Не взаимно простые. * 9 и 27: $9 = 3^2$, $27 = 3^3$. Не взаимно простые. * 14 и 27: $14 = 2 \cdot 7$, $27 = 3^3$. Взаимно простые. Итак, три пары взаимно простых чисел: (9 и 14), (14 и 15), (14 и 27). **1.177** Правильная дробь - это когда числитель меньше знаменателя. Знаменатель у нас 12. Надо найти все числители, которые меньше 12 и взаимно простые с 12. Число 12 раскладывается на $2^2 \cdot 3$. Значит, нам не подходят числа, которые делятся на 2 или на 3. Подходят числа: 1, 5, 7, 11. Дроби: $\frac{1}{12}$, $\frac{5}{12}$, $\frac{7}{12}$, $\frac{11}{12}$.