Помоги решить задачи по производной функции из контрольной работы

№1. Чтобы найти среднюю скорость, нужно знать пройденный путь и время, за которое этот путь был пройден. Путь $s(t)$ у нас дан формулой. Средняя скорость $v_{ср}$ находится как $$v_{ср} = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1}$$.\ Подставляем значения $t_1 = 1$ и $t_2 = 5$ в формулу для $s(t)$: $$s(1) = \frac{1^2}{2} = 0.5$$ $$s(5) = \frac{5^2}{2} = \frac{25}{2} = 12.5$$ Теперь подставляем найденные значения в формулу для средней скорости: $$v_{ср} = \frac{12.5 - 0.5}{5 - 1} = \frac{12}{4} = 3$$ **Ответ: 3** №2. Мгновенная скорость — это производная пути по времени. Сначала найдем производную $s(t) = 0.1t^2$: $$v(t) = s'(t) = 0.1 \cdot 2t = 0.2t$$ Теперь найдем мгновенную скорость в момент времени $t = 20$: $$v(20) = 0.2 \cdot 20 = 4$$ **Ответ: 4** №3. a) Давай найдем производную функции $f(x) = \frac{2x}{3} - 7 + 2\pi$. Производная от $2x/3$ будет $2/3$, производная от $-7$ равна $0$, и производная от $2\pi$ тоже $0$, потому что это просто число. Значит, $$f'(x) = \frac{2}{3}$$ **Ответ: $f'(x) = \frac{2}{3}$** б) Теперь найдем производную $f(x) = (x - 3)^2$. Используем правило цепочки. Сначала берем производную от внешней функции, то есть от квадрата, а потом умножаем на производную внутренней функции, то есть $(x - 3)$. $$f'(x) = 2(x - 3) \cdot (x - 3)' = 2(x - 3) \cdot 1 = 2(x - 3)$$ **Ответ: $f'(x) = 2(x - 3)$** в) Давай найдем производную $f(x) = \frac{1}{6\sqrt{x^5}}$. Сначала перепишем функцию, чтобы было легче брать производную: $f(x) = \frac{1}{6} x^{-\frac{5}{2}}$. Теперь берем производную: $$f'(x) = \frac{1}{6} \cdot (-\frac{5}{2}) x^{-\frac{5}{2} - 1} = -\frac{5}{12} x^{-\frac{7}{2}} = -\frac{5}{12\sqrt{x^7}}$$ **Ответ: $f'(x) = -\frac{5}{12\sqrt{x^7}}$** №4. a) Найдём производную функции $f(x) = x^2 - \frac{1}{x} + 3$. Сначала найдём производную каждого слагаемого по отдельности: * Производная $x^2$ это $2x$. * Производная $-\frac{1}{x}$ это $\frac{1}{x^2}$. * Производная константы $3$ равна $0$. Теперь сложим все производные вместе: $$f'(x) = 2x + \frac{1}{x^2}$$ **Ответ: $f'(x) = 2x + \frac{1}{x^2}$** б) Найдём производную функции $f(x) = \sqrt{x}(x^2 + \frac{1}{\sqrt{x}})$. Сначала раскроем скобки: $$f(x) = x^{2.5} + 1$$ Теперь найдём производную: $$f'(x) = 2.5x^{1.5}$$ **Ответ: $f'(x) = 2.5x^{1.5}$** №5. Найдём $f'(\frac{1}{9})$, если $f(x) = 4\sqrt{x} + \frac{1}{10x}$. Сначала найдём производную $f(x)$: $$f'(x) = \frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{1}{10x^2}$$ Теперь подставим $x = \frac{1}{9}$: $$f'(\frac{1}{9}) = \frac{2}{\sqrt{\frac{1}{9}}} - \frac{1}{10(\frac{1}{9})^2} = 6 - \frac{81}{10} = -2.1$$ **Ответ: -2.1**