Как упростить выражение sin(t) / (1 + cos(t)) + sin(t) / (1 - cos(t))?

Question

Вопрос:

Как упростить выражение sin(t) / (1 + cos(t)) + sin(t) / (1 - cos(t))?

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Чтобы упростить выражение $\frac{\sin t}{1 + \cos t} + \frac{\sin t}{1 - \cos t}$, нужно привести дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет $(1 + \cos t)(1 - \cos t)$. Тогда: $$\frac{\sin t}{1 + \cos t} + \frac{\sin t}{1 - \cos t} = \frac{\sin t (1 - \cos t) + \sin t (1 + \cos t)}{(1 + \cos t)(1 - \cos t)}$$ Раскроем скобки в числителе: $$\frac{\sin t - \sin t \cos t + \sin t + \sin t \cos t}{(1 + \cos t)(1 - \cos t)}$$ Сократим $-\sin t \cos t$ и $+\sin t \cos t$: $$\frac{2 \sin t}{(1 + \cos t)(1 - \cos t)}$$ Теперь упростим знаменатель, используя формулу разности квадратов: $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$: $$\frac{2 \sin t}{1 - \cos^2 t}$$ Вспомним основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$. Выразим $\sin^2 t$: $\sin^2 t = 1 - \cos^2 t$. Заменим $1 - \cos^2 t$ на $\sin^2 t$ в знаменателе: $$\frac{2 \sin t}{\sin^2 t}$$ Сократим дробь на $\sin t$: $$\frac{2}{\sin t}$$ А так как $\frac{1}{\sin t} = \csc t$ (косеканс), то: $$\frac{2}{\sin t} = 2 \csc t$$ **Ответ: $2 \csc t$**

Как упростить выражение sin(t) / (1 + cos(t)) + sin(t) / (1 - cos(t))?

Ответ ассистента

Другие решения